Isopérimétrie - Définition et Explications

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Résultats élémentaires

Préambule

Il n'est pas nécessairement intuitif de déterminer à l'oeil la figure qui possède la plus grande aire.
Un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une...) non convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet....) ne peut pas être une réponse au problème isopérimétrique.

Le schéma de gauche représente quatre figures, dont trois polygonales et toutes de même périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage...). Il n'est pas toujours évident de repérer immédiatement celle de plus grande aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.). L'histoire montre même que pour certains grecs, l'idée que deux régions, délimités par deux courbes de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...), puissent avoir des aires différentes était contre intuitive.

Si, dans le cas général, la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) est suffisamment complexe pour avoir demandé près de 3 000 ans d'efforts, traiter uniquement le cas des polygones est plus simple. Des solutions élémentaires sont connues depuis l'antiquité, même si elles restent partielles. Elles sont présentées ici dans un langage moderne.

La lettre n désigne un entier plus grand que 2 et p un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques.) strictement positif. La question à résoudre est de trouver, s'il existe, le polygone à n côtés et de périmètre p, ayant la plus grande aire. On peut remarquer qu'il suffit de chercher uniquement dans les polygones convexes. Le terme convexe signifie ici qu'un élastique entourant le polygone est toujours en contact avec sa frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et...). Considérons, en effet, un polygone non convexe P1, par exemple celui illustré sur la figure de droite, en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosité du cyan à une teinte plus sombre comme le...). Son enveloppe convexe (En mathématiques, l'enveloppe convexe d'un objet ou d'un ensemble d'objets est l'ensemble convexe de taille minimale qui contient ces objets. L'enveloppe...), c'est-à-dire la figure ayant pour frontière celle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une...) par un élastique entourant le polygone P1, est un nouveau polygone P2, cette fois convexe. Le polygone P2 correspond à celui contenant les zones bleue et verte sur la figure. Son aire est strictement plus grande et son périmètre strictement plus petit. Une dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du...) d'un rapport bien choisi, nécessairement supérieur à 1, appliquée à P2 définit un nouveau polygone P3 de même périmètre que celui de P1. L'aire de P1 est strictement plus petite que celle de P2, elle même strictement plus petite que celle de P3. Le polygone P3 est de même périmètre que P1 et d'aire strictement plus grande. On en déduit que P1 n'est pas un candidat pour répondre au problème isopérimétrique.

Quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.)

Ce cas correspond à celui qui peut être résolu intégralement sans autre savoir que celui des mathématiciens grecs.

Cas du quadrilatère — L'unique quadrilatère de périmètre p et d'aire maximale pour ce périmètre est le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles...) de côté p/4.

L'aire d'un carré est égale à p2/16. Le dénominateur 16 est plus grand que 4π. On en déduit, si a4 est l'aire d'un quadrilatère de périmètre p :

a_4 \le \frac {p^2}{16} < \frac {p^2}{4\pi}

La démonstration utilise un lemme, utile pour le problème isopérimétrique de n'importe quel polygone :

Lemme 1 — Parmi tous les triangles de base AB, de dernier sommet C et de périmètre p, celui tel que la distance AC est égale à CB est d'aire strictement plus grande que toutes les autres. Le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) est alors nécessairement isocèle.

Polygone quelconque

Le cas du polygone quelconque se traite un peu différemment. La proposition suivante peut être démontrée à l'aide de techniques comparables à celle du paragraphe précédent :

Cas du polygone quelconque — Un polygone de n côtés, de périmètre p et d'aire maximale pour ce périmètre est régulier.

Si an désigne l'aire du polygone régulier, on dispose des inégalités isopérimétriques :

a_n \le \frac {p^2}{4n\tan\left(\frac {\pi}n\right)} < \frac {p^2}{4\pi}

Une partie significative de la démonstration consiste à établir le lemme suivant, attribué à Zénodore. Le calcul de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) du polygone régulier est l'œuvre d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien : Ἀρχιμήδης/Arkhimếdês), né à...). Si les idées sont antiques, la rédaction proposée ici est moderne, elle diffère totalement des preuves qui nous ont été rapportées.

Lemme 2 —  Si un polygone à n côtés est solution du problème isopérimétrique, les angles entre deux côtés partageant un même sommet sont égaux.

Frontière non polygonale

Le cas de la frontière non polygonale n'est guère plus complexe, pour arriver à un résultat équivalent aux précédents :

Cas de la surface quelconque — Toute surface de périmètre p et d'aire maximale pour ce périmètre est un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.).

L'astuce est l'œuvre de Steiner, qui trouve un procédé de symétrisation, toujours utilisé et qui porte maintenant son nom.

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