Inverse - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne l’élément neutre.

La notion d’inverse est primordiale en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...). Le simple fait que tous les éléments d’un monoïde (En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble...) aient un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...), par exemple, fait de ce monoïde un groupe.

Si la loi est associative, alors tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) élément inversible x de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) considéré admet un unique inverse, noté x⁻¹ ou \scriptstyle \frac{1}{x}.

Exemples.

  • L'inverse de 2 dans l'ensemble ℝ des nombres réels est 1/2 ou encore 0,5.
  • L'inverse de l'imaginaire pur i est -i car i·(-i) = 1.
  • L'inverse d'une fonction f, si elle est bijective, est la fonction g telle que f o g = g o f = id, où « id » désigne la fonction identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui...) sur l’ensemble de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de f.
  • L’inverse d’un élément pour l’addition est son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...).

Souvent, la loi noté multiplicativement est la deuxième loi d'une structure appelée anneau. Ce cas est traité dans l'article élément inversible.

Page générée en 0.007 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise