Infini - Définition et Explications

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En théologie

En Inde, dès l'antiquité, la religion jaïniste considérait le monde comme infini.

Les religions monothéistes induisent généralement la notion d'infinité (ou plus précisément les notions d'éternité et de transcendance), même si elle est moins formalisée que la notion mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) correspondante.

Une des premières manifestations de cette notion remonte à l'Égypte ancienne, au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'Akhénaton, autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis,...) du culte du dieu Aton.

Depuis les années cinquante les toitures de certaines églises modernes sont en forme de paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.) hyperbolique de sorte que leurs lignes semblent converger vers un point (Graphie) à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). C'est le cas de l'église (L'église peut être :) Saint-Thibaut au Pecq. Dans la plaquette éditée par "l'association des Amis de Saint Thibaut" en mai 1965 un chapitre s'intitule: "Que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) s'élève vers l'infini" il y est écrit: "...L'arêtier-poursuit l'exposé du parti-est une hyperbole et nous avons déterminé cette courbe de sorte que l'assemblée ne puisse en voir l'extrémité. Nous pensons que cette particularité contribuera à suggérer l'élan vers l'infini. Telles étaient les idées des architectes" et on lit en légende du tracé schématique de la toiture: "Tracé schématique de la forme de l'église, montrant comment on a pu construire les paraboloïdes hyperboliques à partir d'éléments rectilignes. Les quatre voiles de bois se rejoignent à leur pointe, déterminant une convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) vers l'infini....

Dans les exemples qui précèdent, l'idée de transcendance est associée à une notion d'espace ou de temps infini. A l'époque moderne Cantor l'associa aussi, semble-t-il, à l'infinité numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...), considérant que ses travaux sur les nombres cardinaux et ordinaux avaient des implications théologiques.

En physique

Au début du XXe siècle, la physique se trouvait dans l'impossibilité d'expliquer divers phénomènes, dont le fait qu'un corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas idéalisé servant de référence pour...) à l'équilibre thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la première...) est censé rayonner un flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément le terme est employé...) infini (voir catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la mort et la destruction à grande échelle pour conséquence.) ultraviolette). Ce problème fut résolu par l'introduction des quanta par Planck, ce qui forme la base de la physique quantique.

Dans le cadre de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie...), le Big Bang (Le Big Bang est l’époque dense et chaude qu’a connu l’univers il y a environ 13,7 milliards d’années, ainsi que l’ensemble des modèles cosmologiques qui la décrivent, sans que cela...) conduit, dans son interprétation naïve, à l'apparition de valeurs infinies (on parle aussi de singularités) à l'origine des temps, apportant ainsi la preuve que nos connaissances physiques actuelles ne sont pas capables de décrire cette époque lointaine de l'histoire (Les Histoires ou l'Enquête (en grec ancien Ἱστορίαι / Historíai) sont la seule œuvre connue de l'historien grec Hérodote. Le titre signifie littéralement...) de l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.).

Dans plusieurs branches de la physique, comme la théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule...) ou la physique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données....), les chercheurs ont pu éliminer les divergences indésirables de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) à l'aide de techniques mathématiques de renormalisation. Ces techniques n'ont pu être appliquées pour l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une...) à la théorie de la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.).

Histoire

Usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) et opérabilité des quantités infinies

L'infini potentiel chez les anciens

Les mathématiciens ont de tout temps utilisé l'appartenance et l'inclusion mais ont eu les plus grandes difficultés à formuler au moyen de ces relations des théorèmes sur les nombres et les grandeurs. C'est ainsi qu'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement vécu en...), au lieu de dire « l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des nombres premiers est infini », dit « pour toute quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection...) donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) de nombres premiers, il y en a un plus grand ». De même, Aristote (Aristote (en grec ancien Ἀριστοτέλης / Aristotélês) est un philosophe grec né à Stagire (actuelle Stavros) en Macédoine...) se refuse à considérer qu'une ligne droite est « composée de points ».

Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien...) remarque qu'il y a une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) biunivoque entre les nombres et leurs carrés, d'où il déduit que l'assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir...) commune « le tout est plus grand que la partie » ne se vérifie pas lorsqu'on parle de quantités infinies. Cependant, loin d'y trouver une motivation (La motivation est, dans un organisme vivant, la composante ou le processus qui règle son engagement dans une action ou expérience. Elle en détermine...) pour l'étude des ensembles infinis, il y voit la preuve du caractère non opérationnel de tels ensembles, position approuvée plus de deux siècles plus tard par Cauchy. Ainsi donc, jusqu'assez avant dans l'époque moderne, les mathématiciens s'interdisaient d' utiliser directement les ensembles infinis et préféraient raisonner « en compréhension » sur les propriétés de leurs éléments. Ils se contentaient alors de la possibilité d'augmenter toute grandeur donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une...), ou de la diminuer s'il s'agit d'une grandeur continue.

Ceci n'empêcha pas la naissance du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:), ainsi la phrase « pour tout ε>0 il existe n0 tel que n≥n0 implique |un - L| < ε » s'abrège en \lim_{x \to +\infty}u_n =L \,\! ou «  un tend vers L quand n tend vers l'infini », donc, ainsi que le reconnaît Bourbaki, cette position avait permis des développements importants tout en posant des garde-fous.

L'infini potentiel chez les constructivistes modernes

Issu de la « crise des fondements » du début du XXe siècle, le courant intuitionniste promu par Brouwer, rejette les méthodes de la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...) classique, censée ne pas s'appliquer en tout cas aux objets infinis. Aujourd'hui ce terme d'intuitionniste s'applique à une axiomatisation bien précise de la logique sans tiers exclu. Une forme de philosophie mathématique qui se revendique volontiers de celle de Brouwer est celle du courant constructiviste, dont un représentant notoire, Roger Apéry a ainsi exposé la conception de l'infini :

S'il extrapole la réalité, le mathématicien constructif refuse les hypothèses fantastiques des platoniciens ; en effet (......) il constate que la mathématique se déroule dans le temps. (.......) son immortalité lui permet d'atteindre des nombres aussi grands qu'il veut, mais pas de définir tous les nombres ; il croit à l'infini potentiel, pas à l'infini actuel.

On voit d'après ce texte que pour les constructivistes, contrairement au point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) majoritaire qui considère des ensembles dont les parties sont données simultanément, les mathématiques ont pour objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) des processus, dont les étapes se construisent séquentiellement ; car pour eux il s'agit bien d'une activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) humaine ; « il n'y a pas de mathématiques sans mathématicien » dit Apéry.

L'infini actuel et le temps

Au Moyen Âge, saint Bonaventure avait affirmé que d'un pur point de vue logique — indépendamment de ce que disait la Bible — il était impossible que le monde (Le mot monde peut désigner :) ait toujours existé ; Thomas d'Aquin réfuta cette assertion par un raisonnement formel, rien en l'absence d'information ne permettant d'exclure a priori une éternité actuellement achevée.

Un sophisme célèbre, imaginé par le créationniste américain W.L. Craig d'après une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès...) de Bertrand Russell dont le but était autre, prétend démontrer l'impossibilité d'une durée infinie achevée, et donc prouver que le monde a eu un commencement, par l'histoire de Tristram Shandy, lequel écrit son autobiographie au rythme d'un an d'écriture par journée vécue, et a fait cela toutes les années du passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une...). Si donc le temps n'a jamais commencé, quel jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à...) de sa vie (La vie est le nom donné :) Tristram Shandy est-il en train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des...) de commenter cette année ? Aucun jour du passé ne conviendrait, donc il est impossible que le temps n'ait pas une origine.

La supercherie est évidente pour qui connaît les coordonnées cartésiennes et les histoires de trains qui se rattrapent: le scénario comporte une contradiction ; Tristram Shandy qui écrit 365,25 fois moins vite que l'horloge a nécessairement commencé son autobiographie quelque jour, ce qui invalide l'argument.

Dans l'imagerie (L’imagerie consiste d'abord en la fabrication et le commerce des images physiques qui représentent des êtres ou des choses. La fabrication se faisait jadis soit à...) populaire

Dans l'expression populaire, l'adjectif « infinies » est parfois employé pour qualifier de très vastes étendues ou de très grandes quantités.

Remarquons que même finis, les très grands nombres peuvent être difficiles à concevoir. Ainsi les suites de Goodstein sont des suites définies très simplement qui donnent lieu à des nombres qui dépassent l'entendement, bien qu'ils soient encore considérablement plus petits que ceux engendrés par le castor affairé.

Certains auteurs modernes se sont inspirés du passage biblique de la Tour de Babel pour assimiler « le ciel » à un but infiniment éloigné..

Les notations

Le symbole qui revient fréquemment en analyse a été employé pour la première fois en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage De sectionibus conicis, puis peu après dans l'Arithmetica Infinitorum :

esto enim ∞ nota numeri infiniti.

Trois hypothèses existent quant à l'origine de ce choix. La plus communément admise est qu'il s'agit d'une évolution du chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) désignant '1000' dans la numération romaine : successivement Ⓧ, puis CIƆ, avant de devenir M. L'évolution graphique du deuxième symbole aurait donné \infin. Parallèlement on note l'emploi du mot latin mille au pluriel pour désigner un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) arbitrairement grand et inconnu. On notera l’expression française encore utilisée aujourd’hui « des mille et des cents » rappelant cet usage. Le symbole actuel serait donc simplement l’évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.

Une hypothèse concurrente est que le symbole serait issu de la lettre grecque ω, dernière lettre de l'alphabet grec, et métaphore courante pour désigner l'extrémité finale (comme dans l'expression l'alpha et l'oméga). Depuis Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la...) on utilise d'ailleurs des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux infinis. Le plus petit ordinal infini, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est noté ω.

Enfin, Georges Ifrah, dans son encyclopédie « L'histoire universelle des chiffres », explique que la graphie de l'infini remonte à la civilisation indienne, et plus particulièrement à la mythologie indienne. L'Ananta, (terme sanskrit qui signifie infini) le « serpent infini » du dieu Vishnu, est représenté enroulé sur lui-même à la manière d'un « huit renversé ».

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