Indices de pouvoir - Définition

Interprétation probabiliste des indices de pouvoirs

L'intuition d'Owen et Straffin repose sur l'idée que l'ordre de Shapley-Shubick est inadapté car il ne fonctionne pas dans la réalité.

Idée:
Repose sur la probabilité d'être pivôt. Le problème est de montrer qu'il s'agit d'une probabilité. C'est pourquoi Straffin a créé un vecteur d'acceptabilité (P1,...,Pn) avec Pi: la probabilité que i dise oui on va mettre des hypothèses sur les probabilités:

1. Indépendance : chaque Pi est choisit indépendant dans une uniforme [0,1].
2. Homogénéité : on tire un chiffre au hasard entre 0 et 1, P et tout le monde à la même.

On note αi la probabilité que l'individu i soit pivôt.

Proposition: La probabilité αi est égale à Bi, pouvoir de Banzhaf, sous l'hypothèse d'indépendance et à SSI, pouvoir de Shapley-Shubik, sous l'hypothèse d'homogénéité.

La démonstration de cette proposition repose sur le calcul de la probabilité que tous les individu sauf i qui se trouvent dans une coalition gagnante et votent oui, les autres non, et que l'individu i soit pivôt (hors coalition).

Postulats et paradoxes

Paradoxe de la monotonie

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,wn). L'indice α est sujet au paradoxe de la monotonie si il existe deux joueurs i et j tels que:

• wi > wj et αi(v) < αj(v)

Exemple n°6: HP dans le tableau n°8

Paradoxe du transfert

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,wn) et (N',v') un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1',...,wn') tels que:.
Supposons qu'il existe i vérifiant pour tout , que (par conséquent wi' < wi).
L'indice α est sujet au paradoxe du transfert si :αi(v') > αi(v).

Exemple n°7: Soit les jeux [8;5,3,1,1,1] et [8;4,4,1,1,1]. Ils ne diffèrent que par la différence de poids entre les deux premiers joueurs: dans le premier jeu le joueur n°1 a un poids de 5 et le joueur n°2 un poids de 3, alors que dans le second jeu les deux joueurs ont un poids de 4.

Les deux tableaux suivants donnent les résultats des combinaisons gagnantes des jeux:
Tableau n°9: Les coalitions minimales gagnantes du premier jeu

Tableau n°10: Les coalitions minimales gagnantes du second jeu

Avec l'indice de Deegan-Packel on obtient les résultats suivants:
Tableau n°11: Les résultats pour l'indice de Deegan-Packel des deux jeux

Joueur	Jeux n°1	Jeux n°2
1
2
3		0
4		0
5		0

Paradoxe du bloc

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,wn) et ((N\j),v') un nouveau jeu de vote le même quota q et une distribution de poids (w1',..., wj − 1', wj + 1',...,wn') tels que pour tout , wk' = wk et wi' = wi + wj.
L'indice α est sujet au paradoxe du bloc si :αj(v) > 0 et α'i(v') < αi(v).

Exemple n°8: Soit les jeux [25;9,9,7,1,1,1,1,1,1,1] et [25;10,9,7,1,1,1,1,1,1]. Ils ne diffèrent que le transfert du poids du dernier joueur du jeux n°1 sur celui du premier joueur du jeux n°2:

On passe donc d'un jeu à dix joueurs à un jeu à neuf joueurs.
On peut aussi regrouper les joueurs ayant même poids.
On a donc pour le jeu n°1:

• J1 {Les joueurs ayant un poids de 9}
• J2 {Le joueur ayant un poids de 7}
• J3 {Les joueurs ayant un poids de 1}

On a donc pour le jeu n°2:

• J1 {Le joueur ayant un poids de 10}
• J2 {Le joueur ayant un poids de 9}
• J3 {Le joueur ayant un poids de 7}
• J4 {Les joueurs ayant un poids de 1}

On observe ce paradoxe avec l'indice de Banzhaf dans les tableaux suivant:
Tableau n°12: Les résultats pour le jeu n°1

Indice	A	B	C
Banzhaf	0,329

Tableau n°13: Les résultats pour le jeu n°2

Indice	A	B	C	D
Banzhaf	0,327	0,327

Remarque n°5: Alors qu'on a augmenté son poids de 1, le premier joueur a non seulement le même pouvoir que le second joueur, qui lui a un poids de 9, mais en plus il a perdu du pouvoir par rapport à la configuration antérieur.

Tableau résumant les paradoxes

Tableau n°14: Les paradoxes en fonction des indices