Indices de pouvoir - Définition et Explications

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Interprétation probabiliste des indices de pouvoirs

L'intuition d'Owen et Straffin repose sur l'idée que l'ordre de Shapley-Shubick est inadapté car il ne fonctionne pas dans la réalité.

Idée:
Repose sur la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) d'être pivôt. Le problème est de montrer qu'il s'agit d'une probabilité. C'est pourquoi Straffin a créé un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...) d'acceptabilité (P1,...,Pn) avec Pi: la probabilité que i dise oui \rightarrow on va mettre des hypothèses sur les probabilités:

  1. Indépendance : chaque Pi est choisit indépendant dans une uniforme [0,1].
  2. Homogénéité : on tire un chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) entre 0 et 1, P et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le monde (Le mot monde peut désigner :) à la même.

On note αi la probabilité que l'individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) i soit pivôt.

Proposition: La probabilité αi est égale à Bi, pouvoir de Banzhaf, sous l'hypothèse d'indépendance et à SSI, pouvoir de Shapley-Shubik, sous l'hypothèse d'homogénéité.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à...) de cette proposition repose sur le calcul de la probabilité que tous les individu sauf i qui se trouvent dans une coalition gagnante et votent oui, les autres non, et que l'individu i soit pivôt (hors coalition).

Postulats et paradoxes

Paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui...) de la monotonie

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,wn). L'indice α est sujet au paradoxe de la monotonie si il existe deux joueurs i et j tels que:

  • wi > wj et αi(v) < αj(v)

Exemple n°6: HP dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) n°8

Paradoxe du transfert

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,wn) et (N',v') un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1',...,wn') tels que: \sum_{j=1}^n wj = \sum_{j=1}^n wj' .
Supposons qu'il existe i vérifiant pour tout i \neq j, que wj' \geq wj (par conséquent wi' < wi).
L'indice α est sujet au paradoxe du transfert si :αi(v') > αi(v).

Exemple n°7: Soit les jeux [8;5,3,1,1,1] et [8;4,4,1,1,1]. Ils ne diffèrent que par la différence de poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) entre les deux premiers joueurs: dans le premier jeu le joueur n°1 a un poids de 5 et le joueur n°2 un poids de 3, alors que dans le second jeu les deux joueurs ont un poids de 4.

Les deux tableaux suivants donnent les résultats des combinaisons gagnantes des jeux:
Tableau n°9: Les coalitions minimales gagnantes du premier jeu

Coalitions minimales gagnantes 1 2 3 4 5 d(S) s
1,2 1 1 0 0 0 2 2
1,3,4,5 1 0 1 1 1 4 4

Tableau n°10: Les coalitions minimales gagnantes du second jeu

Coalitions minimales gagnantes 1 2 3 4 5 d(S) s
1,2 1 1 0 0 0 2 2

Avec l'indice de Deegan-Packel on obtient les résultats suivants:
Tableau n°11: Les résultats pour l'indice de Deegan-Packel des deux jeux

Joueur Jeux n°1 Jeux n°2
1 \frac{3}{8} \frac{1}{2}
2 \frac{1}{4} \frac{1}{2}
3 \frac{1}{8} 0
4 \frac{1}{8} 0
5 \frac{1}{8} 0

Paradoxe du bloc

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,wn) et ((N\j),v') un nouveau jeu de vote le même quota q et une distribution de poids (w1',..., wj − 1', wj + 1',...,wn') tels que pour tout k \neq {i,j}, wk' = wk et wi' = wi + wj.
L'indice α est sujet au paradoxe du bloc si :αj(v) > 0 et α'i(v') < αi(v).

Exemple n°8: Soit les jeux [25;9,9,7,1,1,1,1,1,1,1] et [25;10,9,7,1,1,1,1,1,1]. Ils ne diffèrent que le transfert du poids du dernier joueur du jeux n°1 sur celui du premier joueur du jeux n°2:

  • 9 \rightarrow 10
  •  1 \rightarrow 0

On passe donc d'un jeu à dix joueurs à un jeu à neuf joueurs.
On peut aussi regrouper les joueurs ayant même poids.
On a donc pour le jeu n°1:

  • J1 \rightarrow {Les joueurs ayant un poids de 9}
  • J2 \rightarrow {Le joueur ayant un poids de 7}
  • J3 \rightarrow {Les joueurs ayant un poids de 1}

On a donc pour le jeu n°2:

  • J1 \rightarrow {Le joueur ayant un poids de 10}
  • J2 \rightarrow {Le joueur ayant un poids de 9}
  • J3 \rightarrow {Le joueur ayant un poids de 7}
  • J4 \rightarrow {Les joueurs ayant un poids de 1}

On observe ce paradoxe avec l'indice de Banzhaf dans les tableaux suivant:
Tableau n°12: Les résultats pour le jeu n°1

Indice A B C
Banzhaf 0,329  \frac{127}{392}
 \frac{1}{392}

Tableau n°13: Les résultats pour le jeu n°2

Indice A B C D
Banzhaf 0,327 0,327  \frac{63}{199}
 \frac{1}{199}

Remarque n°5: Alors qu'on a augmenté son poids de 1, le premier joueur a non seulement le même pouvoir que le second joueur, qui lui a un poids de 9, mais en plus il a perdu du pouvoir par rapport à la configuration antérieur.

Tableau résumant les paradoxes

Tableau n°14: Les paradoxes en fonction des indices

Indices Bloc Monotone Transfert
Shapley-Shubik oui oui oui
Banzhaf non normalisé oui oui oui
Banzhaf non oui non
Johnston non oui non
Deegan-Packel non non non
Hollard-Packel non non non
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