Indices de pouvoir - Définition et Explications

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Définitions, exemples et notations

L'étude du pouvoir de vote a été réalisée, pour la majeure partie, en se fondant sur la théorie des jeux coopératifs. Ce sont donc les notions et les outils de ce théorie qu'utilisent les indices de pouvoir (Un indice de pouvoir est un outil utilisé en politique microéconomique, une branche de l'économie, qui a été développé en premier par Lloyd Shapley et Martin Shubik en 1954 pour...). Le but de cette partie est de d'expliquer les notations employées et présenter les éléments de théorie des jeux (La théorie des jeux constitue une approche mathématique de problèmes de stratégie tels qu’on en trouve en recherche...) qui seront utiles.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) d'un jeu de vote

Un jeu de vote (ou jeu de contrôle) est un couple (N,v) où N={1,...,i,...,n} représente l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des "joueurs" (ici les votants) et v une valeur appartenant à {0,1} telle qu'à chaque groupe d'individus on associe à chaque fois un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».).

Définition d'une coalition gagnante

Une coalition S est dite gagnante si v(S)=1 et perdante si v(S)=0. On note s le nombre de joueurs dans S, Gi(v) l'ensemble des coalitions gagnantes et Gi(v) l'ensemble des coalitions gagnantes contenant le joueur i.
Remarque n°1: Si l'on considère l'ensemble des joueurs comme un ensemble d'individus prenant part à un processus de décision collective, on peut généralement modéliser ce processus par un jeu de vote. Un coalition gagnante est alors définie comme un ensemble de votants tels que s'ils votent à l'unanimité pour une proposition, celle-ci est adoptée. On peut définir cette coalition comme une majorité généralisée.
Remarque n°2: La valeur v indique alors le statut de chaque coalition et par conséquent autorise la formalisation du processus de décision collective. Dans cette configuration l'abstention est exclue: devant une proposition, le joueur n'a le choix de voter qu'entre "oui" et "non".

Définition d'un joueur décisif

Un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) i est dit décisif pour une coalition gagnante S si le retrait de ce participant rend la coalition S perdante, c'est-à-dire si v(S) = 1 et v(S\{i})=0. On note d(S) le nombre de joueurs décisifs dans la coalition S, Di(v) l'ensemble des coalitions pour lesquelles le joueur i est décisif.

Définition d'une coalition minimale gagnante

Une coalition est dite minimale gagnante si c'est une coalition gagnante dont tous les joueurs sont décisifs. On note M(v) l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale (c'est-à-dire où chaque individu est décisif) et Mi(v) l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale auquel le joueuri appartient.

Définition d'un jeu monotone

Un jeux de vote remplissant la condition suivante:

S\leqslant T, v(S)=1 \Rightarrow v(T)=1

est alors dit monotone.

Définition d'un jeu pondéré

Un jeux simple est dit pondéré si il existe un quota q et un poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est...) wi > 0 pour chaque joueur tel que:

  • v(S) = 1 si \sum_{i\in S} wi \geq q
  • 0 sinon

Le jeux se note [q; w1,...,wn]

Exemple n°1

Le jeu de vote pour la Communauté Européenne en 1952 s'écrit:

[9;4,4,4,2,2,1]

Définition d'un jeu propre

Un jeux simple est supposé propre si pour une coalition gagnante, le complémentaire de celle-ci est perdant:

S \in G(v) \Rightarrow N-S \not\in G(v)

Définition d'un jeu fort

Un jeux simple est supposé fort si:

S \not\in G(v) \Rightarrow N-S \in G(v)

Remarque: Cette condition est plus contraignante que celle de la définition n°7. En effet un jeu pondéré est propre si q > w / 2, avec:

w=\sum_{i\in S} wi

Si l'on suppose w impaire, un jeu pondéré est fort si q = (w + 1) / 2.

Exemple n°2

Voici un jeux important à quatre joueurs, où les calculs sont élémentaires, qui sert de référence:
On a un quota de 3 et le jeux suivant: [3;2,1,1,1].
On a quatre individus a, b, c et d, où a dispose d'un poids de 2 et les trois autres d'un poids de 1.
On peut écrire les coalitions gagnantes dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) suivant:
Tableau n°1

Coalitions
gagnantes
a b c d d(S) = nombre de joueurs décisifs s = taille de la coalition
a,b 1 1 0 0 2 2
a,c 1 0 1 0 2 2
a,d 1 0 0 1 2 2
a,b,c 1 0 0 0 1 3
a,b,d 1 0 0 0 1 3
a,c,d 1 0 0 0 1 3
b,c,d 0 1 1 1 3 3
a,b,c,d 0 0 0 0 0 4

On peut ensuite écrire le tableau des coalitions minimales gagnantes:
Tableau n°2

Coalitions
gagnantes
a b c d d(S) = nombre de joueurs décisifs s = taille de la coalition
a,b 1 1 0 0 2 2
a,c 1 0 1 0 2 2
a,d 1 0 0 1 2 2
b,c,d 0 1 1 1 3 3
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