Inconnue (mathématiques) - Définition et Explications

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Introduction

Une inconnue, en mathématiques, est un élément constitutif d'une question de même nature qu'une équation. L'inconnue permet de décrire une propriété vérifiée par une ou plusieurs valeurs qui prendraient la place de cette inconnue, ces valeurs étant souvent des nombres. Dans le cas d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...), une bonne réponse est une valeur pour laquelle, quand on la substitue à l'inconnue, l'égalité est vérifiée. Cette réponse prend le nom de solution. L'inconnue est aussi utilisée dans d'autres situations comme une inéquation (Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une...). Un problème peut comporter plusieurs inconnues, mais chacune d'entre elles est exprimée sous la forme d'un seul et unique symbole.

Une inconnue possède les mêmes propriétés algébriques, que les objets mathématiques susceptibles de lui être substitués. Il est ainsi possible d'additionner x avec x, on obtient 2x. D'une manière générale, les opérations applicables aux valeurs possibles de l'inconnue le sont aussi à celle-ci. C'est quand on opère ainsi que l'on parle vraiment d'inconnue au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...). Mais l'inconnue peut juste désigner une valeur que l'on cherche à expliciter sans qu'elle soit véritablement utilisée pour modéliser la question.

Historiquement, l'inconnue est d'abord utilisée dans la modélisation de problèmes de nature algébrique, qui mettent en jeu des polynômes. Ce cas particulier correspond à une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) qui était appelée théorie des équations (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...). Mais ce cadre s'est élargi : avec en particulier les progrès de l'analyse apparaissent des équations traitant d'autres fonctions que les fonctions polynomiales, et l'inconnue n'est plus forcément un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) mais, par exemple, un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...) ou une fonction.

Si le terme inconnue apparaît sous la plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de β-kératine. La plume est un élément caractéristique de la classe des...) de Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIe siècle, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à...), un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) du XVIIe siècle, le concept est plus ancien. Diophante au IIIe siècle introduit l'arithme, qui bien que moins opératoire, préfigure l'inconnue moderne. Le vocabulaire et certains principes fondamentaux de la résolution des équations, comme celui de la balance, proviennent en grande partie du mathématicien Al-Khawarizmi et de ses disciples.

Exemples introductifs

Exemple du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)

Un exemple de question introduisant une inconnue est :

Question — Un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas?

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'une inconnue permet de résoudre cette question. Si X désigne le tas, la question se résume à trouver la solution de l'équation suivante :

(1)\quad X + \frac 15X = 21

En effet, répondre à la question consiste à trouver une valeur telle que, si l'inconnue X est remplacée par cette valeur, l'égalité est vraie. Ceci montre bien que le problème se formalise par l'équation (1) et la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne...) de sa solution. Pour toute valeur, la valeur et son cinquième est égale à 6/5 de la valeur, l'équation (1) peut prendre la forme suivante :

(2)\quad \frac 65X = 21

Si deux valeurs sont égales, le produit de chacune des deux valeurs par 5 sont encore égales, il est possible de multiplier les deux membres de l'égalité (2), sans pour autant modifier les solutions des équations associées, et :

(3)\quad 6X = 21\times 5 = 105

Le même raisonnement montre qu'il est possible de diviser par 6 les deux membres de l'équation (3), sans changer la racines de l'équation associée. On obtient X = 105/6 = 35/2 = 17+1/2. La valeur de la solution est explicitée, le tas est égal à 17+1/2.

L'équation (1) se compose, pour chacun des deux membres de l'égalité, d'une somme de termes formés, soit d'un produit d'un nombre et de l'inconnue, soit d'un nombre. Ce type d'équation est dite du premier degré.

Cet exemple met en valeur deux propriétés de l'inconnue et de l'équation qui l'utilise. La première traite des propriétés algébriques de l'inconnue. Le passage de l'égalité (1) à la (2) est obtenue à l'aide d'une factorisation, une somme de deux termes X + 1/5.X est égale à un produit 6/5.X. Il est possible d'additionner deux termes contenant une inconnue exactement comme si l'inconnue était un nombre. De même, il est possible de multiplier l'inconnue par 5 et de la diviser par 6, ou encore de la multiplier par 5/6. On peut additionner et multiplier des termes contenant l'inconnue, par un nombre ou encore par une expression contenant l'inconnue. Ces facultés sont appelées propriétés algébriques de l'inconnue car elles traitent de son comportement vis à vis des opérations somme et produit.

La deuxième propriété est parfois appelée le principe de la balance. L'égalité définissant l'équation peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme deux plateaux d'une balance, si les valeurs sont assimilées à des poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la...). L'égalité est vérifiée si les poids, à droite et à gauche du signe égal, sont les mêmes. Si tel est le cas, on peut ajouter, retrancher, multiplier ou diviser les poids de la même manière à droite et à gauche sans modifier l'équilibre. On utilise ce principe pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de l'égalité (2) à la (3), on multiplie par 5 de chaque côté de l'égalité.

Exemple du deuxième degré

L'inconnue permet de résoudre des problèmes plus difficiles. L'exemple choisi ici est dit du second degré :

Question — Un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) rectangulaire possède une aire de 96 et un périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à...) de 40. Quelles sont les longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) et largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures d'un...) du champ?

Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), l'objectif est de traduire la question posée en une équation. Comme le périmètre est égal à 40, la somme de la longueur et de la largeur est égale à 20. On considère la demi-somme c'est-à-dire 10. L'inconnue choisie ici, notée X, représente la valeur à ajouter à 10 pour obtenir la longueur, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) égale à 10 + X. La somme de la longueur et de la largeur est égale à 20, ce qui signifie que la largeur est égale à 10 - X. Dire que l'aire est égale à 96 revient à dire que le produit de la longueur et de la largeur est égal à 96, ce qui permet de construire l'équation répondant à la question :

(1)\quad (10+X)(10-X) = 96\;

Dans un deuxième temps, on applique des transformations à l'équation de telle manière à rendre visible la ou les valeurs possible(s) de X pour l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une...) cachée(s) dans l'équation. Ces valeurs, que l'on rend visible, sont aussi appelées racines. Une identité remarquable est vraie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple de nombres, elle est aussi applicable à une expression contenant une inconnue :

(10+X)(10-X) = 10^2 - X^2 = 100 - X^2\;

Cette identité remarquable permet d'écrire différemment l'équation (1) :

(2)\quad 100 - X^2= 96\;

Ajouter X2 - 96 à chacun des deux membres de l'égalité ne modifie pas les solutions de l'équation :

4 = X^2\;

Comme la longueur est plus grande que la largeur, X est nécessairement positif, la seule solution acceptable est 2.

Dans un troisième temps, on explicite la solution et on vérifie qu'elle est exacte. La longueur est égal à 10 + 2, soit 12 et la largeur à 10 - 2, soit 8. La somme de la longueur et de la largeur est bien égale à 20 et le périmètre à 40. Le produit de la longueur et de la largeur vaut 8 x 12 soit 96, on trouve bien l'aire recherchée. L'usage d'une inconnue permet de résoudre la question.

Cet exemple offre un double enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les...) sur l'usage de l'inconnue pour la résolution d'une question. Une démarche possible se déroule en trois temps. En premier lieu, la question posée est traduite sous forme d'équation, comportant par définition une inconnue. Ensuite, une série de transformations dites algébriques rendent visibles la racine, initialement cachée dans l'équation. Ces transformations ont pour but d'isoler l'inconnue dans un des côtés de l'égalité définissant l'équation. Les identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des...) sont fort utiles pour parvenir à cette isolation. Enfin, on vérifie que la solution trouvée est bien la réponse à la question posée.

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