Inconnue (mathématiques) - Définition et Explications

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Propriétés

Opérations usuelles

Les deux exemples introductifs illustrent les raisons de la puissance de la méthode. Elle provient du fait qu'il est possible d'opérer sur l'inconnue exactement comme sur une valeur 2, 5 ou √2. Ainsi, la somme de deux multiples de X est le produit de la somme des multiples, par X; par exemple :

3X + 4X = (3 + 4)X= 7X\;

Cette règle est encore valable pour les nombres rationnels ou réels :

\frac 34 X + \frac 45 X = \frac {15}{20}X + \frac {16}{20}X = \frac {31}{20}X\;

L'associativité de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou...) et de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) est inchangée :

2X + (3X + 4X) = (2X + 3X) + 4X = 9X \quad\text{et}\quad 2(3X) = (2\times 3)X = 6X\;

La distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) de la multiplication sur l'addition est vérifiée sur des expressions contenant une inconnue exactement comme sur les valeurs habituelles :

(X + 2)(X + 3) = X(X+ 3) + 2(X + 3) = X^2 + 3X + 2X + 6 = X^2 + 5X + 6\;

Les puissances d'inconnues suivent les mêmes règles que celles usuelles :

X^3\cdot X^2 = X^5 \quad\text{et}\quad \frac {X^5}{X^2} = X^3

Il est nécessaire d'être un peu prudent avec la dernière égalité. Le terme de droite X5/X2 n'a pas de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) si X est remplacé par 0. La dernière égalité n'est vraie que si X est remplacé par une valeur différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...) de 0.

Identité remarquable

certaines identités polynomiales sont appelées « identités remarquables » :

(x + 10)^2 = x^2 + 20x + 100,\quad (2x -3)^2 = 4x^2 -12x + 9,\quad (x + \sqrt 2)(a - \sqrt 2) = x^2 - 2

Ces identités sont vraies quelle que soit le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) que l'on substitue aux variables, ici x. Les équations s'écrivent également comme des égalités, mais qui ne sont en général pas toujours vraies, on cherche justement quelles valeurs substituer à la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) pour que l'égalité soit réalisée. Il est possible d'utiliser une identité pour une variable, jouant éventuellement le rôle d'inconnue dans une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...), ou plus généralement pour toute expression, par exemple polynomiale, utilisant une variable.

Elles sont utiles pour résoudre certaines équations polynomiales, comme celles du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :). Un exemple est traité dans l'article détaillé, et le cas général dans l'article équation du second degré.

Division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...) par zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole...)

Une erreur fréquente consiste à diviser deux membres d'une équation par 0, ce qui n'a pas de sens et induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) des résultats absurdes. Avec des inconnues, l'erreur est moins flagrante et demande une attention plus soutenue pour l'éviter. Considérons, pour s'en rendre compte, l'égalité entre deux inconnues : X = Y. Cette équation est équivalente aux égalités suivantes :

Y^2 = XY, \quad -Y^2 = -XY,\quad X^2 - Y^2 = X^2 - XY = X(X-Y)\;

On peut appliquer une identité remarquable à la dernière égalité et, semble-t-il diviser par (X- Y) chaque membre de l'égalité :

X^2 - Y^2 = X(X-Y),\quad (X+Y)(X-Y) = X(X-Y) \;\overset{?}{\Rightarrow}\;X+Y = X

La dernière égalité est étrange, si l'on choisit X égal à 1, Y qui est égal à X est aussi égal à 1 et il semble que l'on a démontré que 2 est égal à 1. L'erreur est commise sur le point (Graphie) d'interrogation, l'implication suppose une division à droite et à gauche de l'égalité par (X- Y). Or comme X est égal à Y, les deux termes sont égaux à 0. Cette division, qui n'a pas de sens, conduit à un résultat absurde.

Cas général

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

Les équations algébriques ne permettent pas de résoudre toutes les questions. Il en existe d'autres, soit parce que l'équation s'exprime avec des fonctions qui ne sont pas algébriques, comme le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles...), soit tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement parce que la valeur recherchée n'est pas dans un simple ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) de nombres, comme pour la question que se posait Didon, ou pour l'équation qui régit le mouvement d'une planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5...) du soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une...), dont l'inconnue est ce mouvement même, et que l'on qualifie de différentielle. Une équation s'écrit plus généralement :

f(x) = g(x)\;

L'inconnue x est une variable, f(x) et g(x) sont des fonctions, elles associent à une valeur, par exemple 1, les nombres notés f(1) et g(1). Si on considère les polynômes comme des fonctions, les équations algébriques s'expriment bien de cette façon. Il est théoriquement possible de mettre toutes les équations sous cette forme, à condition de considérer l'inconnue x comme pouvant appartenir à un ensemble arbitraire (de nombres, de vecteurs, de fonctions, etc.) et les fonctions f et g comme, elles aussi, complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la...) générales.

Exemple

On cherche à répondre à la question suivante : un coureur se déplace sur une piste circulaire d'un rayon de 100 mètres. Le disque ayant pour frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les...) la piste, contient une ligne blanche qui parcourt un diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour...), le coureur part d'un point diamètre et de la piste. Quelle distance le coureur a-t-il parcouru la première fois qu'il se trouve à 50 mètres de la ligne blanche ?

La distance parcourue est l'inconnue x de la question, qui se formalise par l'équation suivante :

100 \cdot \sin \left(\frac x{100}\right) = 50 \quad \text{ou}\quad (1)\quad 100 \cdot \sin \left(\frac x{100}\right) - 50 = 0

On trouve comme réponse 100.π/6, soit un peu moins de 52,4 mètres. Le terme de gauche de l'équation (1) peut être considéré comme une fonction, qui à x associe la valeur du membre de gauche de l'équation.

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