Identité trigonométrique - Définition

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- Introduction - À partir des définitions - À partir du théorème de Pythagore - Propriétés liées au cercle trigonométrique - Formules d'addition et de différence - Équation trigonométrique - Formules de Simpson - Formules de duplication et d'angle moitié - Formule de Moivre et formules d'angle multiple - Formules d'Euler - Fonctions trigonométriques réciproques - Linéarisation - Identités sans variable - Propriétés métriques dans un triangle quelconque - En analyse

Introduction

Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : avec les fonctions trigonométriques, nous définirons $sin 2$ , $cos 2$ , etc., les fonctions telles que pour tout réel $x$ , $sin 2 (x) = (sin(x)) 2$ , ...

À partir des définitions

$\tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac{1} {\tan (x)} = \frac {\cos (x)} {\sin(x)}$

$\operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)}$

À partir du théorème de Pythagore

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \qquad \cot^2(x) + 1 = \csc^2(x)$

Propriétés liées au cercle trigonométrique

Symétries, parité

Parité - Réflexion d'axe $θ = 0$	Réflexion d'axe $θ = π / 4$	Réflexion d'axe $θ = π / 2$
$\begin{align} \sin(0 -\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(0 -\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(0 -\theta) &= -\tan \theta \\ \mathrm{cotan} (0 -\theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\mathrm{cotan} \theta \\ \mathrm{cotan}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \mathrm{cotan} (\pi - \theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \\ \end{align}$

Périodicité, décalages

Décalage de $\dfrac{\pi}{2}$	Décalage de $π$ (Période de tan et cotan)	Décalage de $2π$ (Période de sin et cos)
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{cotan} \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + \pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + 2\pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \end{align}$

Formules d'addition et de différence

Le moyen le plus rapide pour retrouver ces formules est d'utiliser les formules d'Euler en analyse complexe.

$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \,$

$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \,$

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \,$

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \,$

Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Le cosinus est méchant (asocial et contestataire !) : il ne sympathise pas avec les sinus, et de plus il change les signes ».

$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \,$

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \,$

Une conséquence intéressante de ces égalités est qu'elles permettent de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus :

$\alpha\sin wx+\beta\cos wx=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sin(wx+\varphi)$

où

$\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha)$ si α est positif et $\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi$ sinon

Il existe de nombreuses démonstrations possibles dont une utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle et une autre la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire. La démonstration proposée ici démontre à la fois la formule du cosinus et celle du sinus. Elle utilise la propriété du changement de repère.

Sur le cercle trigonométrique, on considère le point $M$ tel que $(\vec i, \overrightarrow{OM}) = a$ et le point $M'$ tel que la base $(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'})$ soit orthonormale directe. Les deux vecteurs ont alors, dans la base $(\vec i, \vec j)$ respectivement les coordonnées $(cos(a),sin(a))$ et $( - sin(a),cos(a))$

On considère le point $N$ tel que $( \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = b$ .

Dans la base $(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'})$ , le vecteur $\overrightarrow{ON}$ a pour coordonnées $(cos(b);sin(b))$ . Ce qui conduit aux égalités vectorielles :

$\overrightarrow{ON} = \cos(b)\overrightarrow{OM}+ \sin(b)\overrightarrow{OM'}$

$\overrightarrow{ON} = \cos(b)(\cos(a) \vec i + \sin(a) \vec j) + \sin(b)(-\sin(a)\vec i + \cos(a) \vec j)$

$\overrightarrow{ON} = (\cos(b)\cos(a) - \sin(b)\sin(a)) \vec i + (\cos(b)\sin(a) + \sin(b)\cos(a)) \vec j$

D'autre part, puisque $(\vec i, \overrightarrow{ON}) = (\vec i, \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}) = a + b$ , on a :

$\overrightarrow{ON} = \cos(a+b) \vec i + \sin(a+b) \vec j$

Les formules s'obtiennent alors par identification.

La formule de la tangente s'obtient alors par quotient

$\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\cos(b)\sin(a) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(b)\cos(a) - \sin(b)\sin(a)} = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

par division au numérateur et dénominateur par $cos(a)cos(b)$

Équation trigonométrique

$\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})$

$\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=\pi-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})$

$\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})$

Formules de Simpson

Transformation de produits en sommes

$\cos p\cos q=\frac{1}{2}\bigl(\cos(p+q)+\cos(p-q)\bigr)$

$\sin p\cos q=\frac{1}{2}\bigl(\sin(p+q)+\sin(p-q)\bigr)$

$\sin p\sin q=\frac{1}{2}\bigl(\cos(p-q)-\cos(p+q)\bigr)$

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition

Transformation de sommes en produits

$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

Il suffit de remplacer p par $\tfrac{p+q}{2}$ et $q$ par $\tfrac{p-q}{2}$ dans les formules de transformation de produit en somme.

Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Si, coco, si ; coco, si si ! Priorité au sinus et à l'addition, −2 à la dernière ».

$\tan p + \tan q = \frac{\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}$

Formules de duplication et d'angle moitié

Formules de l'angle double

Appelées aussi formules d'angle double, elle peuvent être obtenues en remplaçant $a$ et $b$ par $x$ dans les formules d'addition et en utilisant le théorème de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre avec $n = 2$ .

$\sin 2x = 2 \sin x\cos x\,$

$\cos 2x= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x-1 = 1-2 \sin^2 x \,$

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2 \cot x}{\cot^2 x- 1} = \frac{2}{\cot x - \tan x}$

Une conséquence amusante de la formule de duplication du cosinus est la suivante :

$\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$ avec n-1 « 2 » sous le radical.

En passant à la limite, on a une démonstration du fait que $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=2$

Formules de réduction du carré

Ces formules permettent d'écrire $cos 2 (x)$ , $sin 2 (x)$ et $tan 2 (x)$ en fonction du cosinus de l'angle double.

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

$\tan^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}$

Formules d'angle moitié

En remplaçant $x$ par $\tfrac{x}{2}$ dans les formules de réduction des carrés, et ensuite en cherchant l'expression de $\cos(\tfrac x2)$ et $\sin(\tfrac x2)$ , nous obtenons :

$\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos x}{2}\right)}$

$\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right)}$

En multipliant $\tan(\tfrac x2)$ par $\tfrac{2\cos(x/2)}{2\cos(x/2)}$ et en le remplaçant par $\tfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$ on obtient au numérateur $sin x$ d'après la formule d'angle double, et au dénominateur $2\cos^2(\tfrac x2)$ qui est aussi égal à $cos x + 1$ selon la formule de réduction du carré.

La seconde formule vient de la première en multipliant numérateur et dénominateur par $sin x$ et en simplifiant en utilisant le théorème de Pythagore et l'identité remarquable $1 - c o s 2 x = (1 - c o s x)(1 + c o s x)$ .

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{\cos x + 1} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

Si on pose $t=\tan(\tfrac{x}{2})$ , on a :

$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

$\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}$

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera :

$\mathrm d x = \frac{2\mathrm d t}{1 + t^2}$

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Formule de Moivre et formules d'angle multiple

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