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Identité trigonométrique - Définition

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- Introduction - À partir des définitions - À partir du théorème de Pythagore - Propriétés liées au cercle trigonométrique - Formules d'addition et de différence - Équation trigonométrique - Formules de Simpson - Formules de duplication et d'angle moitié - Formule de Moivre et formules d'angle multiple - Formules d'Euler - Fonctions trigonométriques réciproques - Linéarisation - Identités sans variable - Propriétés métriques dans un triangle quelconque - En analyse

Formule de Moivre et formules d'angle multiple

La formule de Moivre s'écrit :

\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x +i\sin x )^n\,\! où i est l'unité imaginaire.

Si Tn est le n-ième polynôme de Tchebychev alors

\cos(nx)=T_n(\cos x )\,\!.

Pour tout entier naturel n on a

\cos(nx)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}~{n \choose n-2k}~(-1)^k~cos^{n-2k} x \ ~(1- cos^2 x )^k

Le noyau de Dirichlet Dn est la fonction définie par :

pour tout réel x, D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier.

Formules d'Euler

\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Fonctions trigonométriques réciproques

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\quad \text{avec}\quad y\in\left[\frac{-\pi}{2}\, ;\frac{\pi}{2}\right]
y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\quad \text{avec}\quad y\in\left[0\, ;\pi\right]
y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\quad \text{avec}\quad y\in\left]\frac{-\pi}{2}\, ;\frac{\pi}{2}\right[

Si x > 0 alors

\arctan(x)+\arctan\left(\frac1x\right)=\frac{\pi}{2} .

Si x < 0 alors le côté droit de l'égalité doit être remplacé par -\tfrac{\pi}{2} .

\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) + k\pi

où

k = 0 \quad \text{si} \quad xy < 1
k = 1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x>0
k = -1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x<0

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore :

\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^{2}}
\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^{2}}
\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}
\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}
\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}
\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Linéarisation

\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}
\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}

Connaissant la formule de De Moivre :

(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \,  ;

il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

e^{i(n-k)x}e^{-ikx} = e^{i(n-2k)x}\,
e^{inx} + e^{-inx} = 2\cos (nx)\,
e^{inx} - e^{-inx} = 2i\sin (nx)\,

Formules de linéarisation de degré 2

\cos^2 a + \sin^2 a = 1~
\cos^2 a = {{1 + \cos(2a)} \over 2}
\sin^2 a = {{1 - \cos(2a)} \over 2}
\tan^2 a = {{1 - \cos(2a)} \over {1 + cos(2a)}}
\cos^3 a = {{3 \cos a + \cos(3a)} \over 4}
\sin^3 a = {{3 \sin a - \sin(3a)} \over 4}
\tan^3 a = {{3 \sin a - \sin(3a)} \over {3 \cos a + \cos(3a)}}
 
\begin{align} & \sin ^{2n}x=\left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^{2n} \\ & \sin ^{2n}x=\frac{1}{\left( 2i \right)^{2n}}\left( \left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)e^{ixk}\left( -1 \right)^{k}e^{-ix\left( 2n-k \right)}+\left( \begin{matrix} 2n \\ 2n-k \\ \end{matrix} \right)e^{ix\left( 2n-k \right)}\left( -1 \right)^{2n-k}e^{-ixk} \right)} \right) \\ & \sin ^{2n}x=\frac{1}{\left( -4 \right)^{n}}\left( \left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)\left( e^{-ix\left( 2n-2k \right)}+e^{ix\left( 2n-2k \right)} \right)} \right) \\ & \sin ^{2n}x=\frac{1}{\left( -4 \right)^{n}}\left( \left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+2\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)\left( \cos \left( \left( 2n-2k \right)x \right) \right)} \right) \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\sin ^{2n}x=\frac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)-2\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ n-1-k \\ \end{matrix} \right)\cos \left( 2\left( k+1 \right)x \right)} \right)}}}} \\ & \sin ^{2n+1}x=\left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^{2n+1} \\ & \sin ^{2n+1}x=\frac{1}{\left( 2i \right)^{2n+1}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)e^{ixk}\left( -1 \right)^{2n+1-k}e^{-ix\left( 2n+1-k \right)}+\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ 2n+1-k \\ \end{matrix} \right)e^{ix\left( 2n+1-k \right)}\left( -1 \right)^{k}e^{-ixk} \right)} \\ & \sin ^{2n+1}x=\frac{1}{\left( -4 \right)^{n}2i}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)\left( e^{ix\left( 2n+1-2k \right)}-e^{-ix\left( 2n+1-2k \right)} \right)} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\sin ^{2n+1}x=\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)\sin \left( \left( 2k+1 \right)x \right)}}}}} \\ & \bullet \text{ }x\leftarrow x+\frac{\pi }{2} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\cos ^{2n}x=\frac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+2\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{matrix} 2n \\ n-1-k \\ \end{matrix} \right)\cos \left( 2\left( k+1 \right)x \right)} \right)}}}} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\cos ^{2n+1}x=\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)\cos \left( \left( 2k+1 \right)x \right)}}}}} \end{align}
 

Identités sans variable

Richard Feynman qui était réputé pour avoir très bien appris ses formules de trigonométrie, s'est toujours rappelé cette curieuse identité :

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\tfrac18.

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\tfrac12.
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\tfrac12.

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs :

\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21} +\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac12.

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

Propriétés métriques dans un triangle quelconque

Formule des sinus

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Soit un triangle ABC de côtés de longueurs a, b et c (le côté [AB] est de longueur c, etc.), d'aire S, de hauteur h, de périmètre p et dont le rayon du cercle circonscrit est R (voir figure ci-contre). Nous avons l'égalité suivante :

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{abc}{2S} = \frac{abc}{2pr} = 2R

Il suffit de voir que ha = 2S avec h = csinβ donc abcsinβ = 2Sb. D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit ra + rb + rc = 2S = 2rp.

Formule des différences des côtés

b - c = a \cdot {{\sin({{B-C} \over 2})} \over {\cos({A \over 2})}}
{{b-c} \over {b+c}} = \frac{\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\tan\left(\frac{B+C}{2}\right)}
\tan\left(\frac{A}{2}\right) = { r \over {p-a}}

(Se rappeler que \tfrac{A}{2} étant aigu, \tan\left(\tfrac{A}{2}\right) = \sqrt{\tfrac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}} et appliquer le théorème d'Al-Kashi.

En analyse

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

encadrement

L'analyse consiste souvent à encadrer une fonction. La signification géométrique du sinus et de la tangente "montre" que pour x inférieur à ^{\frac \pi 2}  :

\sin (x) \leq x \leq \tan(x) .

Cet encadrement est souvent utilisé ; un exemple est la méthode d'Archimède pour le calcul de Pi (voir quadrature du cercle ).

dérivées

Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, alors leurs dérivées peuvent être obtenues en établissant préalablement ces limites :

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 ,

et

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}  ;

et en utilisant alors la définition avec les limites de la dérivée en un point ainsi que les théorèmes d'addition ; si les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries de Taylor, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.

{\mathrm d\over \mathrm dx} \sin (x) = \cos(x) = \sin\left(x + \frac \pi{2}\right)

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation, par exemple :

{\mathrm d\over \mathrm dx} \cos (x) = -\sin(x) = \cos\left(x + \frac \pi{2}\right)
{\mathrm d\over \mathrm dx} \tan (x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x) } = \sec^2(x)
{\mathrm d\over \mathrm dx} \,\mathrm{cotan} (x) = -1 - \,\mathrm{cotan}^2(x) = -\frac{1}{\sin^2(x) } = - \mathrm{cosec}^2(x)
{\mathrm d\over \mathrm dx} \arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
{\mathrm d \over \mathrm dx} \arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}

primitives

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des Primitives de fonctions trigonométriques.

Formules de duplication et d'angle moitié
- Introduction - À partir des définitions - À partir du théorème de Pythagore - Propriétés liées au cercle trigonométrique - Formules d'addition et de différence - Équation trigonométrique - Formules de Simpson - Formules de duplication et d'angle moitié - Formule de Moivre et formules d'angle multiple - Formules d'Euler - Fonctions trigonométriques réciproques - Linéarisation - Identités sans variable - Propriétés métriques dans un triangle quelconque - En analyse
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