Les éléments sont maintenant réunis pour énoncer le premier théorème clé de l'article. Soit Q[√d] un corps quadratique et Z[ω] l' anneau de ses entiers quadratiques.
On remarque que les idéaux de Z[ω] forment un ensemble munis d'une multiplication. Cette multiplication contient un élément neutre Z[ω], est associative et commutative. Il ne manque que l'existence d'un inverse pour que cette structure soit un groupe multiplicatif. La définition suivante permet de pallier cette faiblesse et par là même de démontrer le théorème du paragraphe :
Cette définition permet d'énoncer la propriété suivante :
Un premier lemme est utile
Si δ est un entier quadratique, alors par définition d'un idéal, le produit de δ et d'un élément de M est un élément de M et donc un entier quadratique.
Supposons que la multiplication de δ par tout élément de M soit un entier quadratique et montrons que δ est un entier quadratique. Les résultats précédents montrent que M est aussi un Z-module qui admet une base B composée de deux éléments de M. Soit Φ la matrice de l'application linéaire de M dans M, qui à x associe δ.x. C'est une matrice carrée 2x2 à coefficients dans Z. De plus, si μ est un élément non nul de M de matrice colonne Mμ, alors Φ.Mμ est la matrice colonne du nombre δ.μ et Φ2.Mμ est la matrice colonne du nombre δ2.μ.
La matrice Φ, comme toute matrice carrée réelle, admet un polynôme caractéristique P(X) qui annule Φ, d'après le théorème de Cayley-Hamilton. Le paragraphe précédent permet de déduire que P(δ).μ est égal à 0. Comme μ n'est pas nul, P(δ) l'est. Or la matrice Φ est à coefficients dans Z, ce qui montre que P(X) est à coefficients dans Z. Le fait que δ soit la racine d'un polynôme de degré 2, de monôme dominant de coefficient égal à 1 et à coefficients dans Z, montre que δ est un entier quadratique, ce qui termine la démonstration.
Un deuxième lemme s'avère nécessaire :
Les résultats précédents montrent que M est l'ensemble des combinaisons linaires de α et β, où α et β désignent deux entiers quadratiques bien choisis. Soit a1 et c1 les coordonnées de α et b1 et e1 celles de β. Montrons dans un premier temps que c1 et e1 sont premiers entre eux. Soit k un diviseur commun à c1 et e1 strictement positif, tout élément de M possède, en conséquence, une deuxième coordonnée multiple de k. Tel est le cas en particulier de α.ω. Un rapide calcul montre que a1 est aussi multiple de k et un raisonnement analogue montre que b1 est aussi un multiple de k. L'entier naturel k est un diviseur de α et β, donc de tout élément de M. Or les hypothèses montrent que le seul entier relatif qui divise tous les éléments de M est 1.
Montrons que e1 peut être choisi égal à 1. Le fait que c1 et e1 soient premiers entre eux montre l'existence de deux entiers relatifs f et g tels que f.c1 - g.e1 soit égal à 1. Par ailleurs, une autre manière de définir M est de considérer cet ensemble comme l'ensemble des combinaisons linéaires dont les coefficients, dans la base (1, ω), sont les images du produit de la matrice suivante par une matrice colonne à deux coefficients choisis dans Z :
Multiplier cette matrice par une matrice à coefficients dans Z et représentant une bijection des matrices colonnes à deux coefficients dans Z, ne modifie pas l'ensemble d'arrivé. La formule de la comatrice montre que si le déterminant d'une matrice 2x2 à coefficients dans Z est égal à ±1, elle représente une des bijections recherchée. On en déduit que la matrice suivante possède comme image de Z2 l'ensemble des coordonnées des éléments de M dans la base (1, ω).
On en déduit que M est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Z des nombres α2 et β2, où α2 est égal à a2 + c2.ω et β2 à b + ω, les coefficients étant définis par les égalités matricielles :
Il reste encore à annuler le deuxième coefficient de la matrice. Pour cela, on utilise la même technique avec la matrice multiplicative suivante, de déterminant égal à 1 :
Si a est égal à a2 - b.c2, la proposition énoncée est bien démontrée.
Soit F l'ensemble défini par :
Il est clair que F est un idéal fractionnaire et que F.M est inclus dans Z[ω]. De plus, F.M est un idéal contenant M car F contient 1. Les seuls idéaux contenant M sont M et Z[ω], car M est un idéal premier, donc maximal. La proposition précédente montre qu'il suffit de trouver un élément de F qui ne soit pas dans Z[ω] pour montrer que M.F contient strictement M. Soit (α, β) une base de M en tant que Z-module.
Il est possible que α et β aient un diviseur commun qui ne soit pas une unité. Si ω est égal i.√5, α peut être égal à 3 et β à 3.ω. Soit γ ce diviseur commun, 3 dans l'exemple, alors γ-1, 1/3 dans l'exemple, est un élément de F qui n'est pas un entier quadratique. Cette configuration correspond au cas où l'idéal M est principal.
Il est aussi possible que α et β n'aient pas de diviseur commun autre que les éléments inversibles. Tel est le cas si α = 2 et β = 1 + i.√5. Soient a et b les éléments de Z tel que α = a et β = b + .ω. Le deuxième lemme montre qu'un tel choix est toujours possible. Dans l'exemple a = 2, b = 1. Le nombre ω.β est un élément de M car ω est élément de Z[ω] et β de M, ce qui montre l'existence de f et g élément de Z tel que : ω.β = f.α + g.β. Ce qui s'écrit :
La fraction δ/a semble être un bon candidat pour être le nombre quadratique non entier recherché. Multiplié par a, il est égal à δ un élément de Z[ω] et multiplié par β il est égal à f un élément Z. Le produit de ce nombre par un élément quelconque de M est donc bien un élément de Z[ω]. Il reste encore à montrer que ce nombre n'est pas un élément de Z[ω], c'est-à-dire que f n'est pas un multiple de β. On remarque que la seule valeur possible de g pour que l'égalité précédente soit dans Z est b. La valeur f est un multiple de β uniquement si f est un multiple de β.βc où βc désigne le conjugué de β. Dans ce cas, a est égal à ±1 et un élément inversible est dans M, ce qui indique que M est égal à Z[ω], ce qui n'est pas possible car M est un idéal premier.
Que M soit un idéal principal ou non, il existe un nombre quadratique de F qui n'est pas élément de Z[ω]. Le premier lemme montre que F.M ne peut être égal à M et est donc égal à Z[ω], ce qui termine la démonstration.
Si un idéal non nul et différent de Z[ω] n'est pas maximal, il est strictement inclus dans un idéal plus vaste, différent de Z[ω]. Il est ainsi possible de construire une suite strictement croissante d'idéaux différents de Z[ω]. Comme l'anneau Z[ω] est noéthérien, cette suite est finie. Le dernier élément de la suite est un idéal maximal. Ainsi, tout idéal est inclus dans un idéal maximal.
L'idéal M est inclus dans un idéal premier (tout idéal premier est ici maximal) P1. L'ensemble P1-1.M est un idéal contenant strictement M. Il existe un effet un élément δ de P1-1 qui n'est pas un entier quadratique. Le premier lemme montre que δ.M n'est pas inclus dans M et :
On construit de même un idéal P2 contenant P1-1.M et P2-1.P1-1.M est un idéal contenant strictement le précédent. On définit ainsi une suite strictement croissante d'idéaux, nécessairement finie car Z[ω] est noethérien. On en déduit qu'il existe un entier positif n tel que Pn-1...P2-1.P1-1.M est égal à Z[ω]. En multipliant cette égalité par P1...Pn on obtient l'égalité qui termine la démonstration :
La multiplication dans l'ensemble des idéaux fractionnaires non nuls possède un élément neutre Z[ω] et est associative et commutative. Il reste à montrer que tout élément possède un symétrique.
Soit F un idéal fractionnaire non nul. Par définition, il existe un entier quadratique α tel que α.F est un idéal de Z[ω]. La démonstration précédente permet de déduire qu'il existe un entier naturel m et une suite finie P1, ..., Pm d'idéaux premiers tel que α.F est égal au produit des idéaux P1, ..., Pm. Le même résultat montre qu'il existe un entier naturel n et une suite d'idéaux premiers Q1, ..., Qn tel que α.Z[ω] soit égal au produit des idéaux Q1, ..., Qn. En remarquant que α.F est égal au produit d'idéaux fractionnaires α.Z[ω] et F on déduit :
On en déduit une expression de F ainsi que de son symétrique :
L'existence d'une décomposition est déjà démontrée. Il ne reste plus qu'à montrer l'unicité. Cette démonstration utilise le fait que si un idéal premier contient un produit d'idéaux, il contient au moins l'un des idéaux du produit (cf Idéal premier). Soit M un idéal et n un entier tel qu'il existe une décomposition en n idéaux premiers. Montrons par récurrence sur n que la décomposition est unique.
Si n est égal à 1. M est un idéal premier et s'il existe une décomposition de M en produit d'idéaux premiers Q1. ... .Qm, alors l'un de ces idéaux est contenu dans M. Supposons, quitte à réindexer, que ce soit Qm. Comme Qm est maximal, il est égal à M qui est premier donc maximal. En multipliant l'égalité M = Q1. ... .Qm par M-1, on remarque que le produit Q1. ... .Qm-1 est égal à l'anneau tout entier, ce qui n'est possible que si m est égal à 1.
Supposons la propriété démontrée à l'ordre n - 1 et montrons là à l'ordre n. On suppose qu'il existe deux décompositions de M en produits d'idéaux premiers P1. ... .Pn et Q1. ... .Qm. L'idéal Pn contient le produit Q1. ... .Qm. Le même raisonnement que le précédent montre qu'il existe un idéal du produit égal à Pn. Quitte à réindexer, supposons que ce soit Qm. En multipliant les deux décompositions de M par Pn-1, on obtient l'égalité entre les produits P1. ... .Pn-1 et Q1. ... .Qm-1. L'hypothèse de récurrence permet de conclure.
Les résultats du paragraphe précédent ne peuvent être opérationnels que s'il existe un moyen de déterminer les différents idéaux premiers. Cette tâche est un peu plus délicate pour les idéaux non principaux, elle nécessite l'élaboration d'outils spécifiques. L'application norme étudiée dans l'article Entier quadratique s'applique initialement à un entier quadratique α = a + b.ω. Dans une logique linéaire, le nombre α peut aussi être vu comme un endomorphisme, qui à x associe α.x. Il possède dans la base (1, ω) l'une des deux matrices suivantes selon que d est congru ou non à 1 modulo 4 :
On remarque que, dans les deux cas, le déterminant de l'endomorphisme associé à α est égal à sa norme. Une manière d'en comprendre la raison est d'observer que, si α n'est pas un rationnel, le polynôme minimal de α est aussi le polynôme minimal de l'endomorphisme associé à α. Le polynôme minimal de l'endomorphisme est ici le polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton et une considération de degré. Ce polynôme admet pour racine α et son conjugué, sa constante est égale au produit des deux racines ainsi qu'au déterminant de l'application linéaire associée à α. Cette remarque n'est pas sans conséquence géométrique. Si le module Z[ω] est représenté dans la base (1, ω), définie comme orthonormale, les points du module correspondent aux sommets d'un quadrillage de carrés de côté 1. La valeur absolue de la norme de α correspond à la surface du parallélogramme de sommets 0, α, α.ω et 1 + α.ω. Sur la figure de droite le point α est égal à 2 + i et ω est égal à i l'unité imaginaire correspondant à d = -1. La norme de α est, en valeur absolue, égale à la surface du carré rouge.
L'idéal M engendré par α est l'image de Z[ω] par l'application linéaire qui, à x associe α.x. Elle est composée par les points a.α + b.α.ω où a et b décrivent Z. Sur la figure, cette image est illustrée par les points verts et l'origine en rouge, une telle structure porte le nom de réseau. La surface du carré rouge est appelée volume fondamental du réseau. Une classe d'équivalence de Z[ω]/M correspond à un décalage du réseau, illustré par un exemple en bleu sur la figure. Les points bleus correspondent à la classe d'équivalence du nombre 1 + i. On remarque qu'il existe un représentant de chaque classe d'équivalence dans le carré rouge. Il existe donc autant de classes d'équivalence ou encore d'éléments de Z[ω]/M que de points de Z[ω] dans le carré rouge. L'espace est pavé par des carrés de côté 1 et de centre les points de Z[ω], on en conclut, aux effets de bord près, que la surface contenant le points rouges est à peu près égale au carré rouge. Une démonstration, analogue à celle du théorème de Minkowski, montre que la surface du carré rouge, égale à la valeur absolue du déterminant de l'application associée à α, est exactement égale au nombre de points de Z[ω] dans le carré rouge. De manière plus formelle, on remarque que (1, ω) est une base de l'espace vectoriel Q[ω]. Dans cet espace, on définit la surface Vα comme étant celle composée des points de coordonnées éléments de l'intervalle [0, 1[ dans la base (1, ω). Cette définition correspond au carré rouge.
Cette caractérisation de la norme possède un avantage. Quitte à perdre l'information sur le signe de la norme, elle peut être étendue à tout idéal :
Ainsi, si l'idéal est principal, sa norme correspond à la valeur absolue de la norme d'un générateur. L'extension de la définition de la norme conserve la compatibilité avec la multiplication.
Soit α un entier algébrique de l'anneau Z[ω], Vα désigne l'aire de la surface de Q[ω], composée des points de coordonnées élément [0, 1[ dans la base (1, ω) et M l'idéal principal de Z[ω] et engendré par α.
Soit C une classe de Z[ω] / M et β un élément de Z[ω] représentant de la classe C. La famille (α , α.ω) est une base de Q[ω] considéré comme un Q espace vectoriel, il est donc possible d'y exprimer β comme une combinaison linéaire : q1.α + q2.α.ω où q1 et q2 sont deux nombres rationnels. Notons ei la partie entière de pi et fi sa partie fractionnaire, ici i désigne un indice variant de 1 à 2. On peut encore écrire β comme la somme de e1.α + e2.α.ω et de f1.α + f2.α.ω. Le premier terme de la somme est à coefficients entiers, il correspond à un élément de l'idéal M, égal à α(e1 + e2.ω). Le deuxième terme possède des coefficients compris dans l'intervalle [0, 1[. Ce deuxième terme est la différence d'un élément de Z[ω] et d'un élément de M, il est donc élément de Z[ω]. Ce deuxième élément est bien un représentant de C choisi dans Vα, ce qui montre que toute classe possède bien un représentant dans l'intersection de Vα et de Z[ω].
Montrons que ce représentant est unique. Un élément β de Z[ω] est élément de M si, et seulement si, il est multiple dans Z[ω] de α, autrement dit si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs a et b tel que α(a + b.ω) est égal à cet élément. Ce qui revient à dire que l'expression de β en tant qu'élément de Q[ω] dans la base (α , α.ω) possède des coordonnées entières. Soit δ1 et δ2 deux éléments de Z[ω] et de Vα faisant partie d'une même classe C de Z[ω] / M. La différence entre δ1 et δ2 possède des coordonnées entières dans la base (α , α.ω). Or δ1 et δ2 ne possèdent que des coordonnées comprises entre 0 et 1 (exclus). La différence de telles coordonnées ne peut être entière que si elle est nulle, ce qui montre que δ1 et δ2 sont égaux et termine la démonstration.
Soit α un entier quadratique de l'anneau Z[ω], Vα l'aire de Q[ω] composée des points de coordonnées dans la base (1, ω) à valeurs dans [0, 1[ et M l'idéal principal de Z[ω] et engendré par α.
Soit C une classe de Z[ω] / M et β élément de Z[ω] représentant de la classe C. La famille (α , α.ω) est une base de Q[ω] considéré comme un Q espace vectoriel, il est donc possible d'y exprimer β qui est égal à q1.α + q2.α.ω où q1 et q2 sont deux nombres rationnels. Notons ei la partie entière de pi et fi sa partie fractionnaire, ici i désigne un indice variant de 1 à 2. On peut encore écrire β comme la somme de e1.α + e2.α.ω et de f1.α + f2.α.ω. Le premier terme de la somme est à coefficients entiers, il correspond donc à un élément de l'idéal M, égal à α(e1 + e2.ω). Le deuxième terme possède des coefficients compris dans l'intervalle [0, 1[. Ce deuxième terme est la différence d'un élément de Z[ω] et d'un élément de M, il est donc élément de Z[ω]. Ce deuxième élément est bien un représentant de C choisi dans Vα, ce qui montre que toute classe possède bien un représentant dans l'intersection de Vα et de Z[ω].
Montrons que ce représentant est unique. Un élément β de Z[ω] est élément de M si, et seulement, si il est multiple dans Z[ω] de α, autrement dit si, et seulement si il existe deux entiers relatifs a et b tel que α(a + b.ω) est égal à cet élément. Ce qui revient à dire que l'expression de β en tant qu'élément de Q[ω] dans la base (α , α.ω) possède des coordonnées entières. Soit δ1 et δ2 deux éléments de Z[ω] et de Vα faisant partie d'une même classe C de Z[ω] / M. La différence entre δ1 et δ2 possède des coordonnées entières dans la base (α , α.ω). Or δ1 et δ2 ne possèdent que des coordonnées comprises entre 0 et 1 (exclus). La différence de telles coordonnées ne peut être entière que si elle est nulle, ce qui montre que δ1 et δ2 sont égaux et termine la démonstration.
Sur l'exemple illustratif, l'aire de la surface rouge est égale à 5, comme le nombre de points rouges que Vα (le carré en rouge) contient. La figure en bas à gauche illustre une autre configuration. Chaque point de Z[ω] est au centre d'un carré de côté 1. Ces carrés définissent une surface d'aire exactement égale au nombre de points de l'intersection de Z[ω] et de Vα. Elle est illustrée en jaune sur la figure. La proposition à démontrer indique que cet aire est égale à celle de la surface délimitée par le parallélogramme dont le contour est illustré en noir sur la figure.
Ce qui est sur, c'est que si l'on retire une bande de largeur 1 à la frontière du parallélogramme, on obtient une surface strictement incluse dans celle définie par les carrés centrés sur les points de Z[ω], ce qui permet d'obtenir une minoration. Cette surface est illustrée en vert sur la figure. De la même manière, si l'on ajoute une bande de largeur 1 à la frontière du parallélogramme, on obtient une surface contenant strictement celle définie par les carrés. Cette surface est illustrée en bleu clair sur la figure, elle offre une majoration de la surface orange. Cette propriété est due au fait que chaque point de l'intersection de Z[ω] et de Vα est le centre d'un carré orange. Si ce centre est à une distance supérieure à 1 de la frontière, alors le carré est intégralement dans Vα. Réciproquement un point de Z[ω] et de Vα est toujours à une distance strictement supérieure à 1 de la frontière de Vα adjointe d'une bande de largeur 1.
Soit d1 la norme géométrique du vecteur α, d2 celle du vecteur α.ω et θ l'angle entre les deux vecteurs α et α.ω, mesuré positivement. Alors Sα est égal à sin(θ).d1.d2. On obtient les majorations :
L'approximation n'est pas nécessairement très précise. Considérons maintenant La surface constituée de n2 parallélogrammes correspondant aux translatés de Vα par les vecteurs i.α + j.α.ω ou i et j varie de 0 à n - 1. Cette situation est illustrée à droite, pour n égal à 4. On a construit un nouveau parallélogramme, semblable au précédent, mais de surface multipliée par n2 (16 sur l'illustration). La démonstration précédente montre que chaque translaté de Vα contient exactement N points de Z[ω]. Ce qui se traduit graphiquement par le fait que les différentes surfaces jaunes s'emboîte parfaitement. Le nombre de points de Z[ω] dans le grand parallélogramme est maintenant égal à n2.N. Si l'aire de la surface a été multipliée par n2, celle de la frontière n'a été multipliée que par n. Le rapport entre la zone frontière, génératrice d'imprécision et la surface est multiplié par 1/n. Ce qui graphiquement s'illustre par le fait que la zone bleue est devenu sur la figure proportionnellement 4 fois plus petite par rapport à la surface du parallélogramme. L'approximation est n fois meilleure. Les nouvelles majorations deviennent :
En divisant par n2 et en remarquant que sin(θ).d1.d2 est égal à Sα, on obtient :
Si n est choisi suffisamment grand, les termes additionnés et soustraits à Sα deviennent strictement plus petits que l'unité. Comme Sα et Nα sont des entiers, ils sont égaux.
Il suffit de remarquer que la norme de α est égale au déterminant de l'application associée et à la surface Sα en valeur absolue.
Une démonstration précise est proposée dans l'article détaillé. Elle utilise le fait qu'il suffit de démontrer cette proposition dans le cas où l'un des idéaux est premier et se fonde sur le morphisme canonique de groupe de Z[ω] / J1.J2 dans Z[ω] / J1. Ici J1 désigne un idéal et J2 un idéal premier. Le noyau de ce morphisme est égal à J1 / J1.J2, qui peut être vu comme un Z[ω] / J2 espace vectoriel de dimension 1.
Un deuxième outil s'avère nécessaire pour déterminer les idéaux premiers : le discriminant de l'anneau. Soit α un élément de Z[ω] l'anneau des entiers de Q[√d], sa norme est égale à la constante de son polynôme minimal. Il est naturel d'associer à α la trace de cet endomorphisme, qui correspond à l'opposé du deuxième coefficient du polynôme minimal, celui du monôme de degré 1. La trace d'un entier quadratique est un élément de Z car les coefficients de sa matrice sont des entiers relatifs ou encore car son polynôme minimal possède ses coefficients dans Z.
Cette application permet aussi de définir un indicateur associé à un idéal M de Z[ω]. Notons φα l'endomorphisme, qui à x associe α.x. L'application qui à x et y, deux éléments de M, associe la trace de φx.y est une forme bilinéaire à valeur dans Z, appelée forme trace. En règle générale, le déterminant de la matrice d'une forme bilinéaire dépend de la base choisie. Dans un module sur Z, la situation est un peu différente. La formule donnant l'inverse d'une matrice en fonction de la comatrice montre qu'une matrice à coefficients dans Z n'est inversible que si son déterminant l'est aussi, il ne peut donc qu'être égal à ±1. Si B est la matrice de la forme bilinaire dans une base et si P est la matrice de passage dans une autre base, la matrice de la forme bilinaire dans la nouvelle base est égale à tP.B.P. Comme le déterminant de P est égal à ±1, le déterminant de la matrice dans la nouvelle base est égal à celui obtenu dans l'ancienne, ce qui permet de définir le discriminant d'un idéal M comme le déterminant de la forme trace de M.
Dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique, le discriminant prend les valeurs suivantes :
Ces définitions et propositions sont générales à tout anneau de Dedekind.
Soit x et y deux éléments de Z[ω] et a, b, c, e quatre entiers relatifs tel que : x = a + b.ω et y = c + d.ω. Si Μx, Μy, Μxy et T désignent les matrices de φx, φy, φxy et de la forme trace dans la base (1, ω) on obtient :
On en déduit la forme trace notée ici Tr <.,.> :
Ce qui offre une expression matricielle T de la forme trace :
Avec les notations de la démonstration précédente, on obtient :
On en déduit la forme :
Ce qui offre une expression matricielle T de la forme trace :
La démonstration générale est relativement facile, elle proposée dans l'article détaillé.
Dans le groupe des idéaux fractionnaires, il existe des éléments plus simples à appréhender que d'autres : les idéaux principaux. Ils sont stables pour la multiplication, il ne manque que l'existence d'un inverse pour qu'ils disposent d'une structure de sous-groupe, ce qui justifie la définition suivante :
On remarque immédiatement que si δ est un rationnel quadratique, δ.Z[ω] est nécessairement un idéal fractionnaire. Cet ensemble est en effet non vide, il forme un groupe pour l'addition, est stable pour la multiplication et, si α est un dénominateur de δ, considéré comme une fraction d'éléments de Z[ω], alors αδ.Z[ω] est bien inclus dans l'anneau des entiers quadratiques.
Les idéaux fractionnaires principaux forment un ensemble non vide car il contient l'anneau tout entier. Cet ensemble est stable pour la multiplication et si δ.Z[ω] est un idéal fractionnaire principal, alors δ-1.Z[ω] est son idéal fractionnaire principal inverse. Ici, δ désigne un rationnel quadratique.
Tout groupe commutatif se quotiente par n'importe lequel de ses sous-groupes. Dans ce cas particulier, le quotient est l'objet du deuxième théorème clé de l'article :
Ce quotient est appelé groupe des classes d'idéaux. Chaque classe ne peut contenir qu'un unique idéal premier car un idéal n'admet qu'une unique décomposition en idéal premier, il n'existe donc qu'un nombre fini d'idéaux premiers non principaux. Une remarque géométrique, un peu de même nature que celle utilisée pour l'étude de la norme montre de plus que :
La démonstration étant essentiellement visuelle, elle est illustrée par le graphique de droite. On a choisi d égal à 17. Une fois encore, l'anneau est représenté par un réseau de R2. L'application φ qui, à l'anneau Z[ω] associe un réseau est celle qui à l'élément α associe φ(α) = (α, αc), c'est-à-dire le couple formé par α et son conjugué. Le conjugué d'un nombre quadratique a + b√d est le nombre quadratique a - b√d. Une base du réseau est donnée par les deux couples (1,1) et (ω, ωc). Le volume fondamental V du réseau est égal au déterminant de la matrice M suivante :
Dans tous les cas, V, le volume fondamental est égal à racine carrée du déterminant. Sur la figure, d égal à 17 est congru à 1 modulo 4, le volume fondamental est celui du parallélogramme illustré en bleu, il est à peine supérieur à 4. Le réseau est illustré par les points, en général en gris. Les intersections du quadrillage bleu correspond aux points de R2 à coordonnées entières.
On considère un idéal J, l'image par φ de l'idéal correspond à un réseau inclus dans le précédent, a priori à maillage plus large. Dans l'exemple, J est l'idéal composé des multiples de 2. Une fois encore, un rapide calcul montre que la racine carrée de son discriminant est égale à son volume fondamental, ou encore à sa norme que multiplie la racine carrée du discriminant de l'anneau. Sur la figure, le volume fondamental de l'idéal correspond au parallélogramme rouge de surface égale à 4 fois celle du parallélogramme associé au parallélogramme du volume fondamental de l'anneau soit approximativement 16,49. Les points rouges sont ceux correspondant à l'idéal.
Le théorème de Minkowski indique que tout convexe borné, symétrique par rapport à l'origine et de surface quadruple de celle du volume fondamental d'un réseau contient au moins deux points non nuls du réseau. Pour construire un tel convexe, on munis R2 de la norme ||.|| qui associe à un point (x, y) la valeur |x| + |y|. La boule de rayon r, si r désigne un nombre réel, est de surface égale à 2.r2. Pour être certain que la boule de centre 0 et de rayon r contient au moins un point du réseau de l'idéal J, il faut choisir r tel que :
Dans l'exemple de droite, la surface de la boule doit être au moins égale à 65,97 et le rayon r à 5,74. Dans l'exemple cette boule est illustrée en vert, elle contient bien deux points du réseau de J correspondant à 2 et -2. Soit π un point non nul, correspondant au réseau de J et inclus dans la boule de centre 0 et de rayon r. Sa norme géométrique, égale à |π| + |πc| est inférieure à r. L'égalité suivante permet d'obtenir une majoration de la norme arithmétique de π en fonction de la norme géométrique de φ(π).
On en déduit l'existence d'un élément π de J dont la norme arithmétique vérifie la majoration :
Dans l'exemple choisi, cela montre l'existence d'un élément de J de norme arithmétique inférieure à 2,88.
Soit P l'idéal engendré par π. P est un idéal contenu dans J donc J -1.P est un idéal, noté ici K. On en déduit que K est un idéal dans la même classe d'idéal fractionnaire que J -1 car P est un idéal principal. En divisant J-1 par le plus grand idéal principal trouvé, on trouve un idéal K, peut-être non principal, de norme la plus petite possible, ce qui est le but recherché. Comme la norme de P est égale à la valeur absolue de celle de π et que l'on possède une majoration de la norme arithmétique de π, on obtient une majoration de la norme de K :
Dans l'exemple choisi, la racine carrée du discriminant de l'anneau est égale à √17, soit moins de 4,2. La seule norme possible pour un idéal premier non principal est 2. Les résultats précédents montrent que les coordonnées de tels idéaux, s'il existent, sont les produits d'une matrice Mb par un vecteur colonne à deux éléments choisis dans Z :
Un tel idéal contient nécessairement le nombre 2, il intervient donc dans la décomposition de l'idéal principal des multiples de 2. Or l'idéal principal engendré à 1 + ω est de norme 2 et contient donc 2. On remarque que l'idéal engendré par le conjugué, égal à 2 - ω est le deuxième idéal premier intervenant dans la décomposition de l'idéal des multiples de 2. Ces deux idéaux sont de norme égale à 2, ils sont nécessairement premiers car un idéal diviseur possède une norme qui divise 2. Il n'existe donc pas d'idéal non principal de norme 2 et l'anneau est principal.
Le raisonnement est exactement le même que le précédent, même si la représentation ainsi que la distance sont modifiées. Ici, l'application φ est celle qui au point α associe le couple composé de sa partie réelle et de sa partie imaginaire. Le volume fondamental du réseau associé à l'anneau est maintenant égal à la moitié de la racine carrée de la valeur absolue du discriminant. Dans l'exemple, d est égal à -17 et ω à i.√17, le volume fondamental du réseau est égal à √17 et le discriminant à 68. L'idéal J, toujours choisi dans l'exemple, comme l'ensemble des multiples de 2, est associé à un réseau de volume fondamental encore égal à 4 fois le précédent, toujours illustré en rouge sur la figure. Son volume fondamental est approximativement égal à 16,49.
On choisit comme norme géométrique, celle associée à la distance euclidienne. Encore une fois, le théorème de Minkowski indique que la surface de la boule centrée en 0 doit être égale à 4 fois la surface du volume fondamental associé à l'idéal pour assurer l'existence d'un point non nul dans la boule élément de l'idéal. On obtient les égalités, si r désigne le rayon de la boule :
Le carré de la norme géométrique choisie est égal à la norme arithmétique, ce qui garantit l'existence d'un idéal P principal non nul, contenu dans J et de norme vérifiant la majoration :
Dans l'exemple choisi, r est approximativement égal à 4,58 et un point de l'idéal est par exemple 4. Le calcul précédent montre l'existence d'un idéal K dont la norme vérifie la majoration suivante :
Il faut maintenant rechercher des idéaux premiers non principaux de norme inférieure ou égale à 5, valeur donnée par la majoration précédente.
Si la norme de l'idéal est égal à 2, une valeur possible de b est 1, on remarque que la norme de β, si β = b + i.√17 est égal à 18, un multiple de 2. Les notations utilisées sont celles du paragraphe Idéal fractionnaire. L'ensemble des combinaisons linéaires de 2 et 1 + i.√17, à coefficients dans Z, forme un idéal, d'après les résultats du paragraphe Idéal fractionnaire. Il n'est pas principal car 1 + i.√17 n'est pas un multiple de 2 et 2 de norme égal à 4 ne peut être un multiple de 1 + i.√17, car sa norme est égale à 18. On remarque que le carré de cet idéal est égal à celui engendré par 2 et il n'existe pas d'autres idéaux de norme égale à 2. Cet idéal est nécessairement premier car sa norme est un nombre premier. On note cet idéal J2.
Le même raisonnement s'applique encore si la norme de l'idéal est égal à 3. Une fois encore, l'ensemble des combinaisons linéaires de 3 et 1 + i.√17 est un idéal premier non principal. Le deuxième idéal de norme égal à 3 est formé par les combinaisons linéaires de 3 et -1 + i.√17. Il est encore premier et non principal, mais n'est pas confondu avec le précédent. Ces idéaux sont notés J3 et J3c. On peut remarquer que J3c est l'image par l'application conjuguée de J3.
La norme de l'idéal ne peut être égale à 4 si l'on cherche un idéal non principal premier. En effet, même si l'on trouve un entier quadratique β dont la norme est un multiple de 4, l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Z de 4 et β est bien un idéal, mais il est strictement contenu dans l'idéal des combinaisons linéaires de 2 et β et n'est pas premier.
Si la norme est égale à 5, il n'existe aucune valeur de b tel que la norme de b + i.√17 soit un multiple de 5. En effet, cette norme est égale à b2 + 17 et un carré n'est jamais congru à 3 modulo 5. Ce qui montre qu'il n'existe pas d'idéal premier et non principal de norme égale à 5. Un petit travail supplémentaire montre qu'il n'existe pas d'idéal de norme égale à 5.
Le groupe des classes contient 4 éléments : l'élément neutre composé des idéaux principaux, la classe de l'idéal J2, dont le carré est égal à 1, J3, qui possède pour inverse J3c. Il n'existe que deux groupes à 4 éléments, le groupe cyclique et celui de Klein. Dans le groupe de Klein, chaque élément est son propre inverse, ce qui n'est pas le cas ici. Le groupe des classes est donc cyclique. On vérifie de fait la table suivante, qui s'obtient grâce aux égalités :
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