Homotopie - Définition

Isotopie

L' isotopie est un raffinement de l'homotopie ; dans le cas où les deux applications continues et sont des homéomorphismes on peut vouloir passer de à , non seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.

On dira donc que et sont isotopes si et seulement s’il existe une application continue telle que :

• 
• 
• pour tout l'application partielle est un homéomorphisme.

La fonction est définie par .

La notion d'isotopie est notamment importante en théorie des nœuds : deux nœuds sont considérés identiques s'ils sont isotopes, c'est-à-dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la « corde » se déchire ou se pénètre.

Équivalence homotopique entre espaces topologiques

Étendue aux espaces topologiques, l'homotopie ne rend plus compte de déformation continue, mais plutôt du nombre et de la forme des trous dans l'espace.

Étant donné deux espaces topologiques et , on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents (ou « de même type d'homotopie ») s'il existe deux applications continues et telles que :

• est homotope à l'identité de  ;
• est homotope à l'identité de .

L'équivalence homotopique est une relation d'équivalence entre espaces topologiques. Par exemple les intervalles ]0,1[ et [0,1] sont de même type d'homotopie, toutefois il n'existe aucune déformation continue qui puisse rendre compte de l'apparition des points extrêmes 0 et 1. En l'occurrence ces espaces sont contractiles, c'est-à-dire de même type d'homotopie qu'un point. Ce résultat s'interprète comme l'absence de trou dans ces espaces.

Deux espaces topologiques homéomorphes sont homotopiquement équivalents mais la réciproque est fausse, comme le montrent les exemples suivants :

• Un cercle, une ellipse sont homotopiquement équivalents à c'est-à-dire un plan privé d'un point.
• Un segment , un disque fermé ou une boule fermée sont homotopiquement équivalents entre eux, et homotopiquement équivalents à un point.

Diverses propriétés importantes en Topologie algébrique sont conservées par équivalence homotopique, parmi lesquelles : la connexité simple, la connexité par arcs, les groupes d'homotopie, les groupes d'homologie et de cohomologie…

Un espace topologique est contractile si et seulement si l'application identité est homotope à une application constante. L'espace est contractile, ainsi que ses parties convexes, ou simplement étoilées.