Histoire des équations - Définition et Explications

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Introduction

Cet article décrit les faits marquants de l'histoire des équations de l'Antiquité à aujourd'hui.

De l'Antiquité à la Renaissance

L'Antiquité

Le livre arithmetica de Diophante est le premier à décrire l'ajout d'une lettre à un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) de nombres.
Egypte ancienne et Babylone

Aussi loin que remontent les textes connus en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...), on y trouve des questions que l'on modéliserait aujourd'hui par des équations algébriques. On lit, dans un papyrus de l'Égypte ancienne : « Quand le scribe te dit 10 est les 2/3 et le 1/10 de quoi ? », ce qui pourrait se traduire par \frac23 x + \frac1{10} x = 10. Aucun outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande...) algébrique n'est alors développé. Les égyptiens résolvent l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) par tâtonnement et les babyloniens disposent d'algorithmes mais sans justification autre que l'expérience.

Empire romain

Au Ier siècle apr. J.-C., les écrits de Héron d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville...) décrivent une méthode permettant l’approximation de la racine positive d’une équation telle que x2 = 2.

Chine

En 263 Liu (Liu (chinois : 柳宿, pinyin : liǔ xiù) est une loge lunaire de l'astronomie chinoise. Son étoile référente (c'est-à-dire celle qui délimite la...) Hui, mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) chinois publia une estimation de π à 3,1416 à l'aide d'une méthode itérative.

Première théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...)

La première étape qui rapproche de l'ébauche d'une véritable théorie est franchie indépendamment par trois cultures mathématiques : la Grèce, la civilisation arabe et celle des Indes.

Diophante, un mathématicien du IIIe siècle, formalise l’arithme, une lettre qu'il définit comme : « Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) qui possède une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des objets comme les polynômes formels, les fractions rationnelles ou encore les séries formelles. On la...) d’unités s’appelle l’arithme, et sa marque distinctive est σ. ».

Le Moyen Âge

Inde et Moyen-Orient

Avant que Diophante ne soit traduit en arabe, Al-Khawarizmi, 783 - 850, un mathématicien d'origine perse, développe au VIIIe siècle une idée analogue. Son inconnue s'appelle le say'. La même idée est encore présente chez le mathématicien indien Bhāskara II, 1114 - 1185 dans son texte intitulé Bījagaṇita.

Les polynômes d'al-Samaw'al représentés par un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) préfigurent une conception purement abstraite de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.).

Les travaux d'Al-Khawarizmi sont souvent considérés comme l'acte de naissance de la branche des mathématiques appelée algèbre. En termes d'étymologie, le titre de son traité sur les équations : Kitâb al-jabr wa al-muqâbala utilise le terme al-jabr, devenu algèbre.

En arabe, al-jabr « correspond à transformer une soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour...) dans un membre en une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...) dans l'autre membre » dans l'objectif d'obtenir uniquement des coefficients positifs. Par exemple : 2x2 + 100 - 20x = 58 devient par al-jabr : 2x2 + 100 = 58 + 20x.

Le travail d'Al-Khawarizmi est l'acte de naissance d'une théorie des équations (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) quadratiques, dans l'ensemble des nombres positifs (presque toujours rationnels). Al-Khawarizmi s'intéresse à toutes les équations du second degré alors que Diophante ne cherchait à résoudre que celles ayant des solutions, soit entières, soit rationnelles. Al-Khawarizmi est systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur...), l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale....) de son traité est d'offrir une méthode permettant de trouver à coup sûr, si il en existe, une solution de l'équation.

Les gnomons et la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...) d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement...) sont le moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue...) de la résolution des équations algébriques pendant plusieurs siècles.

La géométrie, et particulièrement celle des Éléments d'Euclide, écrit vers -300, joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et...) un rôle fondamental dans cette algèbre naissante. Si l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) d'analyse des arabes est différent, puisqu'ils cherchent à résoudre une équation, dans ce cas particulier du second degré, le cœur de la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) est le même : une analyse d'une configuration géométrique, construite sur la base d'un gnomon (Un gnomon est le nom du plus simple cadran solaire : un bâton planté verticalement dans le sol, ou même encore plus simple l'homme lui-même. Il est connu depuis l'antiquité. L'heure peut se déterminer soit...).

Al-Khayyām 1048 - 1122 remarque qu'il est possible d'interpréter la racine de l'équation cubique comme l'abscisse de l'intersection d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) et d'une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques...). Ce qui montre déjà l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de ce que l'on appellera plus tard un repère cartésien et permet de remarquer l'existence possible de plusieurs solutions. Deux siècles plus tard, profitant des progrès tant algébrique que géométrique, Nasir ad-Din at-Tusi, 1201 - 1274, développe plusieurs outils de la théorie des équations dans le cadre de l'équation cubique. Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî (XIIe siècle) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d’existence de solutions ; ceci va l’amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans plusieurs domaines :) des racines, l’obliger à définir la notion de maximum d’une expression algébrique (en introduisant la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une...) formelle d’un polynôme). Une autre innovation d’al-Tûsî consiste à traiter, en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) que la résolution géométrique, la résolution numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) des équations du troisième degré.

Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent...)

Vers l'an mil, le pape Sylvestre II (Gerbert d'Aurillac (né entre 945 et 950 en Auvergne – mort le 12 mai 1003 à Rome), pape sous le nom de Sylvestre II de 999 à 1003, est un philosophe et mathématicien. Il favorise...) fait adopter les chiffres arabes (Les chiffres arabes, qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, ont été empruntés aux Arabes, qui...) issus de la numération indienne (L'Inde a développé un grand nombre de systèmes de numération, dont chacun peut, à juste titre, être appelé système numérique indien. Les systèmes présentés ici sont décimaux.).

Extrême-Orient (L'Extrême-Orient désigne la partie orientale de l'Asie. Il comprend :)

En parallèle avec l'Europe et le Moyen-Orient, en Chine des algorithmes de résolution d'équations sont développés.

Un système de résolution d'équations linéaires aurait été publié dès la Dynastie Han, mais elle n'étend pas la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) des nombres aux valeurs négatives. Cette information n'est plus mentionnée durant des siècles et pourrait avoir été partiellement oubliée.

En 1303, Zhu Shijie, mathématicien chinois publie Miroir précieux des quatre éléments (Dans le cadre de la philosophie naturelle, la théorie des quatre Éléments est une façon traditionnelle de décrire et d'analyser le monde.) qui inclut une explication de sa méthode des quatre éléments, qui sont utilisés pour signifier quatre quantités inconnues dans une seule équation algébrique. Il inclut les nombres négatifs. Ce savoir semble s'être à nouveau estompé jusqu'à l'arrivée des jésuites en Chine à la fin du XVIe.

La Renaissance

Europe

Vers 1450, Johannes Gutenberg invente l'imprimerie, permettant dès le début du XVIe siècle de diffuser les documents écrits à une très large échelle. À travers l'impression des textes de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo Bigollo (bigollo...), 1179 - 1250, ou encore de Luca Pacioli (Luca Bartolomes Pacioli , dit Luca di Borgo (1445 à Borgo Sansepolcro en Toscane - 1514 ou 1517 à Rome), est un moine mathématicien italien.), 1445 - 1517, l'Italie a accès à l'essentiel du savoir arabe. Les mathématiciens d'alors se passionnent pour l'algèbre et surtout, pour le problème encore laissé ouvert : trouver une méthode générale et exacte de résolution de l'équation cubique.

Scipione del Ferro (Scipione del Ferro, né à Bologne le 6 février 1465 et décédé à Bologne le 5 novembre 1526, était un mathématicien  italien.), 1465 - 1526, trouve comme formule de résolution de l'équation X3 + aX = b :

x= \sqrt[3] {\frac b2 + \sqrt {\left(\frac b2\right)^2 + \left(\frac a3\right)^3}} + \sqrt[3] {\frac b2 - \sqrt {\left(\frac b2\right)^2 + \left(\frac a3\right)^3}}

Une question reste ouverte, comment résoudre l'équation X3 + b = aX si 4a3 > 27b2 ? Tartaglia, 1499 - 1557, un maître en la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...), qualifie l'équation d' irréductible. Girolamo Cardano, 1501 - 1576, généralise la formule de Tartaglia et lui adjoint des nombres imaginaires pour résoudre des cas qualifiés alors d'irréductibles.

Une nouvelle étape est franchie dans la théorie des équations. Si la signification précise de l'expression \sqrt{-1} reste mystérieuse, l'idée de faire appel à un ensemble de nombres plus grand pour résoudre une question en théorie des équations est découverte. Un élève de Cardano, Ludovico Ferrari (Lodovico Ferrari (Louis Ferrari), (2 février 1522 - 5 octobre 1565) est un mathématicien italien.) finit par résoudre l'équation quartique, en 1540. Bombelli, 1526 - 1572, propose un formalisme autorisant l'existence de nombres négatifs et imaginaires.

L'article Méthode de Cardan présente la solution, en terme contemporain, de l'équation cubique et celui intitulé Méthode de Ferrari celle du quatrième degré.

Extrême-Orient

Vers 1590, une mission jésuite, dont fait partie Matteo Ricci, arrive en Chine et échange des informations scientifiques avec les savants de la Dynastie Ming. Il faut savoir que la capacité à déterminer les faits célestes avec précision sont essentiels au pouvoir de l'empereur de Chine et les jésuites utilisent leurs compétences en horlogerie et en géométrie pour accéder à la cité interdite (La Cité interdite (Chinois : 故宫; pinyin : gùgōng) est le palais impérial au sein de la Cité impériale de Pékin dont la construction fut ordonnée par...) et avoir les faveurs de l'empereur. Mei Wending comparera le savoir obtenu des occidentaux au savoir ancestral des chinois et conclura:

« J'ai commencé à me persuader que les différentes constructions de la géométrie étaient compréhensibles, tandis qu'eux [les Occidentaux] en font un enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un élève...) secret des Dieux, et que nous [Chinois] les rejetons en tant qu'hérésie. Ni les uns ni les autres n'ont sur la géométrie un jugement équilibré. »
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