Histoire des équations - Définition

Les équations aux dérivées partielles

Dans un premier temps, les problèmes qui mènent normalement à une équation aux dérivées partielles sont résolus par des méthodes ad-hoc, le plus souvent géométriques. On n'écrit pas l'équation aux dérivées partielles. On ne s'étonnera donc pas que la première équation aux dérivées partielles n'apparaisse qu'assez tard.

Le premier ordre

La théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre ne date que de 1734. L'idée d'Euler est de ramener ladite intégration à celle des équations différentielles ordinaires. Euler montre qu'une famille de fonctions dépendant de deux paramètres a et b de la forme z=f(x,y,a,b) vérifie une équation aux dérivées partielles du premier ordre en éliminant a et b entre les dérivées partielles , et z. Inversement, une telle équation admet une solution dépendant d'une fonction arbitraire. Il parvient ainsi à intégrer plusieurs équations de ce type.

D'Alembert de son côté fonde ses procédés d'intégration sur deux principes :

1. La valeur de la dérivée seconde d'une fonction de deux variables est indépendante de l'ordre des différentiations par rapport à ces variables (théorème dû à Euler mais auquel il faut rajouter des conditions)
2. La formation d'une différentielle totale exacte moyennant les deux relations dz = pdx + qdy et F(x,y,z,p,q) = 0 de sorte que l'intégration de cette dernière donne l'intégrale.

Vingt ans après, en 1768-1770, Euler, dans ses Institutiones calculi integralis publie un tome 3 consacré à ces équations où il applique les principes indiqués à un assez grand nombre d'équations mais d'une forme particulière. Clairaut avait, dès 1740, et par analogie avec les équations différentielles ordinaires, rencontré les équations différentielles totales exactes d'une famille de surfaces.

Lagrange, dans un mémoire de 1785, résume les connaissances de l'époque sur ces questions. Il ne sait intégrer que 11 types d'équations aux dérivées partielles du premier ordre.

La solution de l'intégration de ces équations allait venir d'un mathématicien peu connu, mort en 1784, Paul Charpit. Son mémoire, présenté en 1784 à l'académie des sciences n'a jamais été publié et est resté longtemps une énigme. On n'en savait que ce que Lacroix en avait écrit, ce qui a fait dire de nombreuses contrevérités, jusqu'à ce qu'on retrouve une copie du mémoire en 1928. Charpit part d'un mémoire de Lagrange de 1772 et écrit ce qu'on appelle aujourd'hui les équations différentielles des caractéristiques. Il continue en indiquant qu'il suffit d'intégrer ces équations, si elles sont résolubles, avec l'équation F(x,y,z,p,q)=0, par rapport aux dérivées p et q. Il obtient ainsi l'intégrale complète en intégrant l'équation aux différentielles totales dz = pdx + qdy. C'est la méthode classique d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre qu'on trouve dans les cours d'analyse.

Lagrange ne prendra connaissance du mémoire de Charpit qu'en 1793, ce qui explique que le mémoire de 1785 ne sache intégrer que 11 types d'équations. Ces 11 types sont parfaitement expliqués par Charpit qui les prend pour exemples de sa méthode. Cependant, Charpit n'a pas démontré les théorèmes inverses nécessaires à la rigueur de sa méthode :

1. Toute intégrale des caractéristiques définit une solution de l'équation linéaire aux dérivées partielles correspondante.
2. Toute intégrale des caractéristiques vérifie la condition d'Euler

Ces théorèmes seront démontrés par Jacobi.

Lagrange, quatre ans après avoir pris connaissance du mémoire de Charpit, en 1797,traite ces questions d'une manière plus compliquée que Charpit dans sa Théorie des fonctions analytiques.

Monge, dans ses Applications de l'analyse à la géométrie, en 1809, montre que les solutions sont des courbes de contact avec son enveloppe d'une surface intégrale et que p et q déterminent les plans tangents à cette surface le long de la courbe.

Les noms de Charpit, Lagrange et Monge sont définitivement associés à ce qui va devenir la méthode des caractéristiques.

En 1815, Pfaff étend la méthode de Charpit et donne la première méthode d'intégration d'une équation aux dérivées partielles d'une seule fonction inconnue à un nombre quelconque de variables indépendantes. Ce procédé sera simplifié successivement par Cauchy en 1819 puis par Jacobi en 1836.

Jacobi est ainsi à l'origine des méthodes d'intégration, qu'on qualifie de modernes, permettant d'achever l'intégration là où les procédés classiques se heurtaient à des difficultés. Bertrand retrouve en 1852 les bases des considérations de Jacobi, avant que le mémoire posthume de Jacobi ne soit publié. Bour y apporta des contributions importantes.

Sophus Lie reprit le problème de Jacobi et y apporta une réponse originale mais très compliquée, en introduisant la notion de groupe fonctionnel des intégrales. D'autres recherches sur le même sujet furent faites par Saltykow en 1903, par Stekloff en 1909, Russyan et De Donder en 1910.

La théorie des enveloppes

La théorie des enveloppes des courbes planes a été commencée à la fin du XVII^e siècle par Leibniz et Jean Bernoulli. Elle est complétée principalement par Monge mais apparaît comme un élément essentiel dans la théorie des solutions singulières des équations différentielles d'Euler et Lagrange avait généralisé cette théorie aux enveloppes de famille de surfaces à propos des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Il reviendra à Monge une étude plus systématique. Monge définit la courbe caractéristique d'une famille de surfaces à un paramètre a, V(x,y,z,a)=0 par les équations V(x,y,z,a)=0 et L'élimination de a entre ces équations donne le lieu des caractéristiques ou surface enveloppe de la famille. Il montre alors que les courbes caractéristiques sont tangentes à une même courbe vérifiant

Dans son étude sur les applications de l'analyse à la géométrie (1809), Monge montre qu'une surface développable est applicable sur un plan, répondant ainsi à un problème d'Euler et montre que les surfaces développables z=f(x,y) vérifient l'équation rt − s² = 0.

Ces idées lui permirent de formuler la notion de bande caractéristique et le menèrent à l'intégration de l'équation de Monge-Ampère

rt − s² + Ar + Bs + ct + D = 0,

où A, B, C, D sont des fonctions de x,y,z, p, q.

Les travaux de Monge seront poursuivis pendant tout le XIX^e siècle sur les surfaces satisfaisant à des conditions géométriques (surfaces canal, surfaces moulures, surfaces de Weingarten…).

La théorie des surfaces minima

Euler avait défini la notion de ligne géodésique, c'est-à-dire de « lignes de moindre longueur ». Une surface minima généralise à deux dimensions le concept de géodésique en réalisant le minimum de l'aire ayant pour frontière une courbe fermée donnée. C'est Lagrange qui écrivit l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima z=f(x,y) en 1760:

(1 + q²)r − 2pqs + (1 + p²)t = 0.

Monge tente d'intégrer l'équation en 1784 mais commet des erreurs rectifiées par Legendre en 1787. Legendre y introduit la transformation de Legendre.

La théorie sera complétée par Meusnier, Sophie Germain, Bonnet, Weierstrass, Riemann, Schwarz, Lie et reste encore aujourd'hui un vaste champ d'étude (Nitsche, Ossermann, Chern, Calabi, Bombieri et d'autres).

Les équations aux dérivées partielles d'ordre 2 et plus

En dehors de la géométrie, les équations aux dérivées partielles d'ordre un n'ont que peu de rapport avec les applications de l'analyse. Il en va tout autrement avec les équations d'ordre supérieur qu'on rencontre dès le XVIII^e siècle dans la mécanique des corps déformables, dans l'hydrodynamique, et dans la théorie de l'élasticité. La difficulté est de traduire les lois de la mécanique newtonienne sur des corps non rigides. Les Bernoulli, Taylor, Euler, avant 1740, n'écrivent pas d'équations aux dérivées partielles mais utilisent des raisonnements géométriques particuliers à chaque cas. C'est seulement en 1743 que D'Alembert écrit la première équation aux dérivées partielles de la mécanique, à propos des oscillations d'une chaine pesante au voisinage de sa position d’équilibre :

On rencontre bien vite l'équation

en hydrodynamique puis l'équation des ondes dans la propagation du son

et l'analogue dans la vibration d'une membrane. Laplace rencontre, dans sa théorie des marées, l'équation

et Euler l'équation des vibrations des tiges qui est d'ordre 4:

Pour les applications, il s'agit de résoudre des problèmes avec des conditions aux limites et non trouver les solutions générales de ces équations. Mais les techniques du XVIII^e siècle ne sont pas assez puissantes pour étudier ces équations. Une seule sera étudiée en détail, l'équation des cordes vibrantes la plus simple, l'équation

qui est résolue par D'Alembert, 1717 - 1783, par changement de variable y=x-ct et z=x+ct. Il obtient ainsi l'équation triviale

En revenant aux variables d'origines, il trouve que la solution générale est de la forme u=f(x-ct)+g(x+ct), f et g étant deux fonctions arbitraires.

Mais au XVIII^e siècle, on ne fait pas la distinction entre opérateurs différentiels elliptiques, paraboliques ou hyperboliques. Par contre, on cherche des solutions stationnaires et on utilise pour cela la méthode de séparation des variables.