Graphe planaire - Définition

Caractérisation de Kuratowski et de Wagner

Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski a établi la caractérisation suivante des graphes planaires :

Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne contient pas de sous-graphe qui est une expansion de K₅ (la clique à 5 sommets) ou K_3,3 (le graphe complet biparti à 3+3 sommets).

L'expansion d'un graphe est le résultat de l'ajout d'un ou plusieurs sommets sur une ou plusieurs arêtes (par exemple, transformation de l'arête •——• en •—•—•).

Quelques années plus tard le mathématicien allemand Klaus Wagner en donna une caractérisation semblable :

Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne compte pas K₅ ou K_3,3 parmi ses mineurs.

Un mineur d'un graphe est le résultat de la contraction d'arêtes (fusionnant les extrémités), la suppression d'arêtes (sans fusionner les extrémités), et la suppression de sommets (et des arêtes adjacentes).

La différence entre ces deux caractérisations est minuscule, mais Wagner fit la conjecture que ce dernier admettrait une généralisation que celle de Kuratowski n'admettait pas. Il supposait qu'il y aurait, pour chaque classe de graphe fini close par mineur, un ensemble fini de mineurs interdits qui la caractériserait. Une classe est dite close par mineur si elle comprend tous les mineurs de chaque graphe qu'elle comprend ; un graphe planaire, par exemple, est toujours planaire après la contraction ou suppression d'arêtes et de sommets, et pour cette classe les deux seuls mineurs interdits sont K₅ et K_3,3. Mais aussi notamment il existerait un nombre fini de mineurs interdits pour la classe des graphes qui peuvent se plonger sur un tore, ou sur une surface quelconque, et pour la classe de graphes qui peuvent se plonger dans l'espace à trois dimensions sans noeud, entre autres. Cette conjecture fut enfin prouvée en 2004 par Robertson et Seymour, mais de façon non-constructive : par exemple, on ne connaît toujours pas tous les mineurs interdits pour le plongement de graphe sur un tore.

Intérêt

Un exemple simple pour illustrer l'intérêt des graphes planaires est une énigme, dite des trois maisons initialement posée sous forme mathématique par H. E. Dudeney en 1917. Elle prend la forme suivante : Un lotissement de trois maisons doit être équipé d'eau de gaz et d'électricité. La règlementation interdit de croiser les canalisations pour des raisons de sécurité. Comment faut-il faire ?

Cependant, l'intérêt pour les graphes planaires est plus ancien, il remonte au théorème des quatre couleurs. Depuis, de nombreux problèmes difficiles du point de vue algorithmique (NP-complet) se sont avérés faciles dans cette classe particulière ; toutefois pour la plupart de ces problèmes seule l'interdiction du mineur K est nécessaire.

La propriété de planarité est à l'origine des questions plus générales de plongement de graphe sur des surfaces (graph embedding) : peut-on plonger un graphe donné sur une surface donnée ?

La propriété de planarité d'un graphe le rend plus abordable au cerveau humain comme en témoigne l'exemple du problème du cavalier aux échecs ci-dessous :

Sur un échiquier, on dispose un cavalier. Le but est de le faire passer par toutes les cases, une seule fois par case, en respectant le mouvement classique de la pièce aux échecs. Pour illustrer le problème, on utilise ici un plateau de quatre cases sur trois rangées. Le problème est représenté par un graphe de mouvement ; les sommets du graphe correspondent aux cases de l’échiquier ; les arcs figurent les mouvements possibles. Ainsi, à partir de la case 1, il est possible de se rendre à la case 8 ou à la case 6 car celles-ci sont liées à la première sur le graphe.

Présenté de cette manière, le problème reste complexe. Toutefois, le graphe est planaire et on peut le représenter de façon plus intuitive. On peut facilement extraire de cette nouvelle représentation une solution (tracée en vert) partant de la case 3 et arrivant à la case 10.

De façon plus terre à terre, il était plus facile de concevoir les tout premiers circuits imprimés à transistors quand le graphe du circuit était planaire : on évitait alors de devoir recourir au procédé bicouche ou à des "straps" fragiles pour s'échapper du plan du circuit imprimé.