Géométrie
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Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au théorème de Thalès. Dans les premiers modèles du système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de lui (autrement dit,...), à chaque planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en équilibre hydrostatique, c'est-à-dire sous...) était associé un solide platonicien. Depuis les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré...) astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) elliptique dont le Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification...) constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...), la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) intervient en ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la responsabilité de la construction et au contrôle des...) dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par...) tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et...) de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement...) a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de...) (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus spécifiquement à la création d'images à vocation perspectiviste irréalisables hors de l'informatique) est l'art de l'image...).

La trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...) euclidienne intervient en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) pour traiter par exemple de la diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène...) de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est...). Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime (La navigation maritime concerne toute les activités humaines de circulation sur les mers et océans. On parle de navigation hauturière lorsque le navire...) aux étoiles (avec les sextants), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur un support réduit représentant un...), navigation aérienne (La navigation aérienne est l'ensemble des techniques permettant à un pilote d'aéronef de maitriser ses déplacements. En général, cette route débute et se termine sur un aérodrome.) (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIXe siècle trouvent des échos en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...). Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre planètes...). Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés...) le formalisme idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible...) pour formuler les lois de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une...). La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles...) trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la physique théorique : fournir une description de la gravité quantique...) ou des membranes.

La géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par...), inventée par Alain Connes (Alain Connes est un mathématicien français, né le 1er avril 1947 à Draguignan (Var).), tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Domaines de recherche relevant de la géométrie

Géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme une extension de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les...). Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces (variétés) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique (métrique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les surfaces de l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) 3 dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité...) une métrique sur la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et...) étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport (Le transport est le fait de porter quelque chose, ou quelqu'un, d'un lieu à un autre, le plus souvent en utilisant des véhicules et des voies de communications (la route, le canal ..). Par...) parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) le long d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) tracée sur la variété riemannienne. La courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par...) d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point (Graphie) à un autre par rapport à la courbe les reliant.

La métrique donne lieu à la définition de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle...) des courbes, d'où dérive la définition de la distance riemannienne. Mais les propriétés métriques des triangles peuvent différer de la trigonométrie euclidienne. Cette différence est en partie étudiée à travers le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de comparaison de Toponogov, qui permet de comparer du moins localement la variété riemannienne étudiée à des espaces modèles, selon des inégalités supposées connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modèles :

  • L'espace euclidien est une variété riemannienne de courbure nulle ;
  • La sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...) de dimension n sont une variété riemannienne de courbure positive constante 1 ;
  • L'espace hyperbolique de dimension n est une variété riemannienne de courbure négative -1.

Géométrie complexe

La géométrie complexe porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à \mathbb C^n. Ces objets (variété complexe) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un prolongement analytique d'une fonction à plusieurs variables.

Géométries symplectique et de contact

La géométrie symplectique est une branche de la géométrie différentielle et peut être introduite comme une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...) en dimension supérieure de la notion d'aire orientées rencontrée en dimension 2. Elle est liée aux formes bilinéaires alternées. Les objets de cette géométrie sont les variétés symplectiques, qui sont des variétés différentielles munie d'un champs de formes bilinéaires alternées. Par exemple, un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle...) attaché à un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une...) muni d'une forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ...) alternée non dégénérée est une variété symplectique.

La géométrie de contact est une branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés de contact, qui sont des variétés différentielles munies d'un champs d'hyperplans des espaces tangents vérifiant certaines propriétés. Par exemple, l'espace projectif déduit un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété de contact.

Géométries discrète et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais...)

Géométries algébrique et arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...)

Géométrie non commutative

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