Géométrie - Définition

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Grandes divisions de la géométrie

Géométrie classique

Sans qualificatif particulier et sans référence à un contexte particulier (par opposition à la géométrie différentielle ou la géométrie algébrique), la géométrie ou encore géométrie classique englobe principalement :

Ces géométries peuvent être généralisées en faisant varier la dimension des espaces, en changent les corps des scalaires (ce qui généralise les nombres réels) ou donnant une courbure à l'espace. Ces géométries sont encore dite classiques.

La géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons.

  • La géométrie synthétique (ou géométrie pure), qui utilise une approche axiomatique ayant généralement comme données premières les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leurs sont associées.
  • La géométrie analytique, qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point des triplet (ou une suite de longueur donnée) d'éléments d'un corps.
  • L'algèbre linéaire, qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des espaces vectoriels abstraits.
  • La géométrie des groupes, qui étudie les action de groupe et leurs invariants. C'est là le programme d'Erlangen de Felix Klein. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, algébriques ou de Lie) classiques, c'est-à-dire aux groupes liés aux groupes linéaires, orthogonaux, unitaires ou symplectiques, et a leurs espaces homogènes classiques (espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, par exemples). On peut aussi s'intéresser à la géométrie des groupes exceptionnels.
  • La théorie des immeubles de Jacques Tits, et qui est liés à la géométrie des groupes algébriques classiques et exceptionnels, et qui étudie des structures combinatoires liés aux diagrammes de Coxeter. Par exemple, l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps est un immeuble.

Il est remarquable que l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, formes quadratiques, formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitienne, etc.) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité.

Autres types de géométries

Il y a des branches des mathématiques qui sont issues de l'étude des figures des espaces euclidiens, mais qui se sont constituées en branches autonomes des mathématiques et qui étudient des espaces qui ne sont pas nécessairement plongés dans des espaces euclidiens :

Les différents espaces de la géométrie classique peuvent être étudiés par la topologie, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique.

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