Géométrie algébrique - Définition et Explications

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Introduction

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des produits (par exemple le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) unité dans le plan rapporté à un repère orthonormé admet pour équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes...) x2 + y2 = 1). La simplicité de cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) fait qu'elle embrasse un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'objets et qu'elle permet de développer une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) riche. Les besoins théoriques ont contraint les mathématiciens à introduire des objets plus généraux dont l'étude a eu des applications bien au-delà de la simple géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) algébrique ; en théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et...) par exemple, cela a conduit à une preuve du grand théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Fermat.

Cette branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) n'a désormais plus grand chose à voir avec la géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace...) dont elle est en partie issue.

Histoire

Les premiers travaux de cette nature remontent aux mathématiques arabes. Omar Khayyam (L'écrivain et savant persan connu en francophonie sous le nom d'Omar Khayyām ou de Khayyām serait né le 18 mai 1048 à Nichapur en Perse (actuel Iran) où il est mort le...) proposa une méthode de résolution des équations cubiques par intersection d'un cercle et d'une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les...). Il combina la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...) et les approximations fonctionnelles pour obtenir des méthodes de résolution géométriques des équations algébriques. Cette branche des mathématiques est maintenant appelée algèbre géométrique (En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques, utilisées par les grecs de l'antiquité, pour établir des...).

La « Géométrie » de Descartes, inaugurant l'étude des courbes algébriques par les méthodes de la géométrie analytique, marque la deuxième grande étape dans la genèse de cette discipline.

À proprement parler, il faut attendre le début du vingtième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...) pour que la géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets...) naisse comme appartenant à la géométrie à part entière. Cela fut initié par l'école italienne (Italienne est le nom communément utilisé pour le cordage servant a manœuvrer un enrouleur. Il s'enroule sur un tambour quand on déroule la voile, et on tire dessus pour enrouler la...) de la fin du XIXe siècle (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segre...). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe). Ils introduisirent les notions de points voisins et points proches afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bezout. Le style assez libre de l'école italienne reste éloigné de la rigueur actuelle. Les travaux du français Emile Picard conduisirent au groupe des diviseurs et au groupe qui porte son nom. On peut aussi mentionner les travaux de Max Noether en Allemagne.

Après 1930, les écoles américaine (Zariski, Mumford...), allemande (Noether, Brauer), russe (Kolmogorov...) et française (Weil, Chevalley...) développèrent sous une forme plus algébrique l'étude des variétés sur un corps commutatif quelconque en utilisant essentiellement la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.).

Dans les années 50, elle fut totalement transformée par les travaux de l'école française sous l'impulsion de Samuel, d'Henri Cartan (Henri Cartan, fils d'Élie Cartan et de Marie-Louise Bianconi, est un mathématicien français, né le 8 juillet 1904 à Nancy. Il est couramment considéré comme l'un des mathématiciens...), de Serre (Une serre est une structure généralement close destinée à la production agricole. Elle vise à soustraire aux éléments climatiques les cultures produites pour l'alimentation...) et d'Alexandre Grothendieck (Alexandre Grothendieck, né le 28 mars 1928 à Berlin, est un mathématicien apatride qui a passé la majorité de sa...).

En une décennie (Une décennie est égale à dix ans. Le terme dérive des mots latins de decem « dix » et annus « année.), le domaine se développa, répondant à des questions classiques sur la géométrie des variétés algébriques. Des applications furent très vite trouvées en théorie des nombres. Jean-Pierre Serre (Jean-Pierre Serre est un mathématicien français né le 15 septembre 1926 à Bages (Pyrénées-Orientales). Il est considéré comme étant l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Il a...) et Alexander Grothendieck établirent les bases de la théorie des faisceaux, et la notion de schéma s'imposa vers 1960.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) du théorème de Fermat-Wiles est un exemple notable d'application à la théorie des nombres de concepts de géométrie algébrique : les courbes elliptiques, et en cela est un des grands succès de la théorie.

Le théorème de Bézout

On peut assez vite remarquer que si deux courbes planes n'ont pas de composante commune, alors elles se coupent en un nombre fini de points. Ce nombre est majoré par le produit des degrés des deux courbes (une application du résultant peut le justifier). Ainsi une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.) rencontre au plus deux fois une droite. Le théorème de Bézout affirme qu'il s'agit en fait d'une égalité à condition de se plonger dans le bon cadre.

Le premier obstacle est l'absence de points de rencontre : typiquement le cercle Z(x2 + y2 − 1) et la droite Z(y − 2) ne se coupent pas. C'est un problème algébrique ; pour palier ce défaut il faut autoriser les coordonnées à vivre dans une clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) du corps de base.

On rencontre le second obstacle en observant deux droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun sont dites sécantes.), qui justement ne se coupent pas. C'est un problème qu'on pourrait qualifier de « global ». On y remédie en considérant qu'elles se rencontrent à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Plus précisément on identifie un point (Graphie) (x,y)\in k^2 à la droite passant par l'origine et le point (x,y,1)\in k^3. Les autres droites, celles contenues dans z=0, sont les points qui nous manquaient, et toutes ensembles elles constituent \mathbb{P}^2(k) l'espace projectif associé à k². Par exemple partant de Z(y) et Z(y-1), on associe les variétés « homogénéisées » Z(y) et Z(y-z) de \mathbb{P}^2(k), i.e. les droites passant par l'origine et les points (z=1,y=0) et (z=1,y=1) respectivement, mais aussi, et on trouve notre point d'intersection, la droite Z(y,z).

Le dernier obstacle vient des points de contact multiple : la parabole Z(yx2) et la droite Z(y) se coupent uniquement en (0,0) même dans \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) : il faut considérer les équations zy-x²=0 et y=0 qui ont pour seule droite commune (y=0, x=0). Pour y remédier, il faut définir la notion de multiplicité, c'est un problème qu'on pourrait qualifier de « local ». Dans l'exemple précédent l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) à considérer est k[X,Y] / (Y − X2,Y)˜k[X] / (X2), k-algèbre de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) vectorielle 2 qui reflète la « multiplicité ».

On est alors amené à considérer des objets plus généraux. A l'instar de ce qui se fait en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les...), il s'agira (Agira est une commune italienne de la province d'Enna dans la région Sicile en Italie.) d'objet globaux qui localement ressemblent à nos modèles : les variétés affines. On commencera donc par caractériser les variétés affines de façon intrinsèque, i.e. qui ne fera pas référence au choix d'un système de coordonnées. Avant cela voyons une « application » d'un problème d'intersection. L'équation x²+y²=1 représente le cercle centré en l'origine et de rayon 1. Il passe par le point (-1,0), par suite toute droite passant par ce point « doit » recouper le cercle (a priori peut-être sur des points complexes à l'infini...). Une telle droite est « caractérisée » par sa pente t, à condition de s'autoriser t=\infty pour la droite verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) x=-1 (en résumé : la famille des droites passant par un point donné est paramétrée par la droite projective). Une telle droite D_t, d'équation y=t(x+1), recoupe le cercle en un point vérifiant alors 0=t^2(x+1)^2+x^2-1=(t^2+1)x^2+2t^2x+(t^2-1)=(t^2+1)(x+1)(x-\frac{1-t^2}{t^2+1}) où l'on a développé puis factorisé par la racine évidente (car D_t passe par (-1,0)) x=-1. L'autre point d'intersection est donc \left(\frac{1-t^2}{t^2+1},t\left(\frac{1-t^2}{t^2+1}+1\right)\right)=\left(\frac{1-t^2}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}\right), pour t\in k et (-1,0) pour t=\infty (remarquer que dans le cas de \mathcal{R} cela est cohérent avec les limites). Par rapport au paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de définition des courbes, surfaces, et plus généralement des variétés.) réel en (cosθ,sinθ) celui-ci à le mérite de ne faire intervenir qu'une fonction rationnelle (En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un corps K. En pratique, ce corps est généralement (corps des réels) ou (corps des complexes). Si P et Q sont deux...) (des sommes, produits, divisions), alors que cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des...) et sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles...) n'en sont pas.

Une telle paramétrisation peut permettre de résoudre quelques problèmes. Cela conduit en effet à une description des triplets pythagoriciens et cela permet également d'intégrer toute fonction rationnelle en cosθ,sinθ (au vu du dessin et du théorème de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) au centre il s'agit du changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) t=\tan\frac{\theta}{2}). L'existence d'une telle paramétrisation est un fait remarquable ; de telles courbes sont dites unicursales. C'est par exemple le cas de :

  • Z(y2x3) paramétrée par (t3,t2) obtenu par les droites Dt = Z(ytx) passant par le point double (0,0),
  • Z(y2 − (x + 1)x2) paramétrée par (t2 − 1,t3t) obtenu par les droites Dt = Z(ytx) passant par le point double (0,0).

Mais ce n'est pas le cas de xn + yn = 1 pour n>2, sinon avec des paramètres rationnels on obtiendrait une infinité de solution à coefficients rationnels (car il existe déjà (1,0)) ce qui contredirait le grand théorème de Fermat. [ et un petit truc sur les intégrales elliptiques...]

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