Générateurs et relations dans le groupe du Rubik's Cube - Définition

Application

Dans le cadre de Caml A) Recherche d’un groupe de générateurs du Cube autre que les 6 usuels

On peut montrer que en réalité, on n’a besoin que de 5 car le 6e peut s’exprimer en fonction des 5 autres. Peut-on trouver un ensemble encore plus petit ? Mouvements de Barns : montrer avec le programme de Guix que l'on peut retrouver les mouvements de bases RU etc.

Dénombrement du groupe à partir des relations du produit semi direct

Produit semi–direct

Définition

Produit direct de deux groupes : en considérant deux groupes G et H, le produit direct de G et de H est l’ensemble des couples (a,b) muni d’une loi produit telle que (a,b) * (a',b') = (a * a',b * b'). Si « G agit sur H », c'est-à-dire s'il existe un morphisme s de G dans A et H, on peut considérer la loi (a,b) * (a',b') = (a * s(b)(a'),b * b').

Cas du groupe G : l’intérêt d’une présentation pour ce groupe est que l’on peut établir un isomorphisme entre G et avec comme morphisme P présenté en introduction.

Recherche d’une présentation de

Il faut d’abord chercher les représentations des groupes symétriques et des groupes cycliques. Pour le groupe symétrique d’ordre n+1, on a: avec Dans le cas où n=4, la matrice est :

Pour le produit cartésien du groupe cyclique d'ordre m, on a :

Pour le groupe symétrique, on peut associer à chaque transposition (de deux indices consécutifs) a_i une matrice de permutation de taille (n+1)*(n+1) autrement dit s_i = I − E_ii − E_{i + 1,i + 1} + E_{i,i + 1} + E_{i + 1,i}

On peut aussi identifier avec le produit cartésien où h_i(t) = I − E_ii − E_{i + 1,i + 1} + tEii + t ^{− 1}E_{i + 1,i + 1}

On a alors les relations suivantes entre les s_iet les h_j(t)

On peut alors démontrer la propriété suivante :

Démonstration : si on appelle P la représentation présentée ci-dessus. Le but de la démonstration est bien sûr de montrer . Pour celà on considère le morphisme qui associe les générateurs de avec les générateurs de . Par définition de l'application, est surjective. Pour prouver l'injectivité, on note K = ker(F). En notant card(G) = | G | , on a d'après le théorème de Lagrange : .

En considérant maintenant , est un sous groupe normal à . En effet, chaque a_i renvoie un générateur de H sur un produit de générateurs de H ou sur son inverse. Comme H est un groupe, on obtient que . On a donc . Si w = W(a₁,...,a_n,h₁,...,h_n) = 1 est une relation de P, le mot écrit dans le groupe quotient P / H devient un mot qui ne contiendra plus que des relations du type . On peut montrer ainsi que (cette partie de la démonstration sera précisée).

Ainsi, on a ce qui montre et ainsi d'où . est donc injectif donc bijectif.