Fractale - Définition

Objets fractals dans la nature

Le chou romanesco, un exemple de fractale naturelle

Une fougère fractale modélisée en utilisant un système de fonctions itérées.

Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent êtres modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithme récursif comme les L-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.

La surface d'une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers basé sur les fractales.

Informatique

• Fractint est un ensemble logiciel libre, gratuit et open source destiné à tracer de nombreux types de fractales.
• Sterling est un générateur de fractales gratuit pour Windows.
• XaoS est un outil interactif francophone permettant une découverte à la fois technique et poétique des fractales.
• Qosmic est un logiciel s'intéressant à l'édition de flammes fractales, les rendus sont générés de manière algorithmique.

• Méthodes informatiques de calcul
  • Système de fonctions itérées (IFS).
  • Jeu du chaos
  • Système de Lindenmayer ou L-System.
  • Méthodes topologiques.
  • Algorithme Diamant-Carré

Galerie de photos

Ensemble de Mandelbrot

Ensemble de Julia en 0.3 + 0.5i

L'éponge de Menger

Suite qui tend vers le flocon de Koch

Utilisations industrielles

Surface spécifique de Blaine : La finesse de broyage d'un ciment est exprimée en termes de surface spécifique (cm²/g) et mesurée par le test de Blaine, dit de perméabilité à l'air, utilisant la relation d'Arcy-Kozeny qui établit que la traversée d'un lit de granules par un fluide est affectée par la surface spécifique des granules. Ainsi, en calculant la durée que met un gaz sous pression à traverser un volume donné de granules, on en déduit la surface des granules. Plus le broyage est fin, plus la surface calculée est importante. Cette expérience se produisant dans un volume déterminé, on peut imaginer obtenir une surface développée infinie en broyant toujours plus finement le ciment. Il s'agit là d'une utilisation industrielle d'un modèle expliqué par les mathématiques fractales (un objet de dimension n de mesure finie, borné par une frontière de dimension n − 1, de mesure tendant vers l'infini).