Forme bilinéaire - Définition

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Forme bilinéaire et application linéaire

Dual

Le dual E* est l'espace des formes linéaires de E dans K le corps sous-jacent de l'espace vectoriel E. Il existe une forme bilinéaire canonique sur E*xE. elle associe à tout couple formé d'un élément du dual f * et d'un élément x de l'espace, l'image du vecteur par la forme linéaire.

En effet par définition la seule forme linéaire nulle sur E est la forme nulle. Le noyau à gauche est donc réduit à la forme nulle. Si x est un vecteur non nul de E, il existe une forme linéaire qui vaut un en x et zéro sur un hyperplan supplémentaire de la droite engendrée par x. Le seul vecteur qui annule toutes les formes linéaires est donc le vecteur nul, ce qui montre que le noyau au droite est aussi réduit au vecteur nul.

Cette forme bilinéaire joue un rôle particulier, elle permet d'exprimer toutes les formes bilinéaires. Soit (.|.) une forme bilinéaire de ExF. Si x est un élément de E, alors ( x|. ) est un élément du dual de F. Soit φ1 l'application de E vers F*, qui à x associe la forme linéaire ( x|. ). On peut définir de même une application φ2 de F vers le dual de E. On dispose des égalités suivantes :

\forall x\in E,\;\forall y\in F\quad (x|y)=\langle \varphi_1(x),y\rangle_F=\langle \varphi_2(y),x\rangle_E
  • Les applications φ1 et φ2 sont linéaires.

Cette propriété est la conséquence directe de la bilinéarité de la forme (.|.).

Noyau

La structure des applications φ1 et φ2 permettent de comprendre la géométrie des noyaux :

  • Le noyau de φ1 (resp. φ2) est le noyau à gauche (resp. à droite) de la forme bilinéaire.

Le corollaire immédiat est que les noyaux à gauche et à droite sont des sous-espaces vectoriels.

Soient N1 (resp. N2) le noyau à gauche (resp. à droite) de la forme bilinéaire et M1 (resp. M2) des supplémentaires de N1 (resp. N2). Leur l'existence dans le cas général suppose l'utilisation de l'axiome du choix.

  • La restriction de la forme bilinéaire à M1xM2 est non dégénérée. Le projecteur p1 (resp. p2) sur M1 (resp. M2) parallèlement à N1 (resp. N2) vérifie la propriété suivante :
\forall x\in E,\;\forall y\in F (x,y)=(p_1(x),p_2(y))

La forme bilinéaire se réduit à une forme non dégénérée une fois que les deux noyaux ont été retirés. Ce retrait permet toujours une détermination exacte de la forme bilinéaire. En dimension finie, la propriété suivante est vérifiée :

  • La dimension de M1 est égale à celle de M2.
  • La forme bilinéaire est non dégénérée si et seulement si φ1 est un isomorphisme. Alors φ2 est aussi un isomorphisme.

Orthogonalité

La notion de noyau peut être étendue :

  • L'ensemble des vecteurs dont l'image par la forme bilinéaire avec tous les éléments d'une famille de vecteurs Φ de E est nulle est un sous-espace vectoriel de F appelée orthogonal de Φ. Cet ensemble est souvent noté \scriptstyle {\Phi^{\bot}}.

L'orthogonal d'une famille de vecteurs de F est évidemment aussi un sous-espace vectoriel. Cet espace vectoriel contient le noyau à gauche de la forme bilinéaire. À l'aide de cette définition les noyaux apparaissent comme l'orthogonal des espaces E et F.

  • L'orthogonal de \scriptstyle {\Phi^{\bot}} est un sous-espace vectoriel contenant celui engendré par Φ.
  • Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E, alors l'orthogonal de la somme de E1 et E2 est l'intersection des orthogonaux. L'orthogonal de l'intersection est la somme des orthogonaux :
 (E_1 + E_2)^{\bot} = E_1^{\bot}\cap E_2^{\bot}\quad \text{et}\quad (E_1 \cap E_2)^{\bot} = E_1^{\bot}+ E_2^{\bot}

En dimension finie, on dispose de plus de l'égalité suivante :

  • La dimension de \scriptstyle {\Phi^{\bot}} est la codimension de l'espace vectoriel engendré par Φ, si la forme bilinéaire est non dégénérée.

Un corollaire de ce cas particulier indique que l'orthogonal de \scriptstyle {\Phi^{\bot}} est la somme l'espace vectoriel engendré par Φ et le noyau à gauche de la forme bilinéaire. On remarque que l'application qui, à un sous-espace de E contenant le noyau à gauche ou de F contenant le noyau à droite, associe son orthogonal est involutive. Un autre corollaire indique que, si E est égal à F et si la forme est non dégénérée, alors l'orthogonal d'un sous-espace est un supplémentaire.

Applications linéaires de l'espace vers le dual

Le paragraphe précédent montre l'existence d'une application canonique des formes bilinéaires de ExF vers l'espace des applications de E dans le dual F*. Soit (.|.)b une forme bilinéaire et ψ1b l'application, qui à x élément de E associe la forme linéaire de F (x|.)b. L'application ψ1, qui à (.|.)b associe ψ1b est une fonction de L2(ExF) dans L(E,F*). On définit de même une application ψ2 de L2(ExF) dans L(F,E*).

  • L'ensemble des formes bilinéaires de ExF forme un espace vectoriel.
  • L'application ψ1 (resp. ψ2) est un isomorphisme de L2(ExF) dans L(E,F*) (resp. L(F,E*).

Montrons que ψ1 est injective. Soit k un élément du noyau, alors ψ1k a pour image par tout vecteur de E la forme linéaire nulle, par définition d'un élément du noyau, l'application est donc bien injective. Elle est aussi surjective, en effet, soit f une application de L(E,F*), alors la forme bilinéaire qui au couple (x,y) associe <f(x), y> est un antécédent.

A la différence du paragraphe précédent, ce résultat ne tombe jamais en défaut, même en dimension infinie. Une forme bilinéaire b se représente ainsi par deux applications linéaires ψ1b et ψ2b. Elles sont liés par les égalités suivantes :

\forall x \in E,\;\forall y\in F\quad (x,y)_b=\langle \psi_{1b}(x),y\rangle_F=\langle\psi_{2b}(y),x\rangle_E

Les différents isomorphismes montrent que l'application qui à ψ1b associe ψ2b est un isomorphisme. On dit que ψ2b est l'application linéaire transposée de ψ1b. La définition est proche de celle plus topologique d'adjoint. L'application qui, à une application linéaire associe sa transposée, est un isomorphisme car composée d'isomorphismes.

En dimension finie, cette proposition possède le corollaire suivant :

  • Si E et F sont de dimension finie alors la dimension de L2(ExF) est le produit des dimensions de E et de F.

Cette proposition découle directement du fait que la dimension de l'espace des applications linéaires d'un espace de dimension finie dans un espace de dimension finie.

Représentation matricielle

Soient E, F deux espaces vectoriels de dimension finie, {\mathcal E}=(e_i)_{1\le i\le m} une base de E et {\mathcal F}=(f_j)_{1\le j\le n} une base de F. À toute matrice A\in{\mathcal M}_{m,n}(K) on peut associer une forme bilinéaire \varphi:E\times F\to K : si x est un vecteur de E de coordonnées X dans {\mathcal E} et y un vecteur de F de coordonnées Y dans {\mathcal F},

\varphi(x,y)=^{\operatorname t}X\ A\ Y,

les coordonnées X (resp. Y) étant disposées sous forme d'une matrice colonne de m (resp. n) éléments de K, et tX désignant la matrice ligne transposée de X.

Inversement, l'application bilinéaire \varphi détermine complètement la matrice A = (ai,j), puisque a_{i,j}=\varphi(e_i,f_j).

Ceci permet de définir (les bases {\mathcal E}, {\mathcal F} étant fixées) un isomorphisme entre {\mathcal M}_{m,n}(K) et l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur ExF.

La formule de changement de base pour les formes bilinéaires est différente de celle pour les applications linéaires : on pourra comparer les deux dans l'article Matrice de passage.

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