Fonction zêta de Riemann - Définition

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- Introduction - Prologue - Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1 - Définition par la série de Dirichlet - Extension à ℂ-{1} - Liens avec les nombres premiers - Relation fonctionnelle et zéros triviaux de la fonction zêta - Le comportement au voisinage de 1 : théorème de Dirichlet et nombres de Stieltjes - Définition de ln ζ et de sa dérivée - Représentation sous forme de produit de facteurs primaires - Que devient la série de Dirichlet sur l'axe Re(s) = 1 ? - Représentation de et fonction M de Mertens - La relation fonctionnelle approchée - Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan - Les grandes conjectures - Les zéros - Applications diverses - Le problème des moments

Introduction

En mathématiques, la fonction $\zeta\,$ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.

Prologue

La théorie de la fonction $\zeta\,$ de Riemann est presque toute entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction $\zeta\,$ de Riemann sont de partie réelle égale à 1/2 renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est développée dans plusieurs directions. La première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.

Par exemple, on démontre que l'on a, sous l'hypothèse de Riemann,

$|\zeta(1+it)| \le C\ln \ln t.$

Si l'on démontrait que l'on a, sur une suite de t tendant vers l'infini,

$|\zeta(1+it)| > C\ln \ln t,\;$

il en serait fini de l'hypothèse de Riemann.

Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. Et chacune de ces conséquences est devenu un objectif en lui-même. Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès.

Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. On examine ensuite ce qui se passe en 1. La théorie de la fonction $\zeta\,$ de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence $\Re(s)>1$ , la bande critique $0 \le \Re(s) \le 1$ , et la région $\Re(s)<0$ . À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l'ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une infinité. On estime donc ce nombre N(T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe 1/2. On estime, avec beaucoup de difficulté, le nombre No(T) des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est 1/2. Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les hypothèses classiques sont examinées: définitions, conséquences, critères équivalents.

Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.