Fonction zêta de Riemann - Définition

Les zéros

Les zéros triviaux

Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction s'annule pour tous les entiers de la forme − 2n, par suite du facteur , mais pas en s=0 par suite du facteur Γ(1 − s). Ces zéros sont appelés zéros triviaux.

La relation fonctionnelle permet de plus de montrer que chacun de ces zéros est simple puisque la valeur de la dérivée en − 2k est

Les zéros non triviaux

Il existe d'autres zéros. On obtient de la relation fonctionnelle que la fonction admet une infinité de zéros dans la bande Pour cela, on remarque que la fonction

vérifie

On en déduit que la fonction

est paire. On montre que les deux fonctions et Ξ sont deux fonctions entières d'ordre 1 et, comme Ξ(s) est paire, la fonction est une fonction entière d'ordre 1/2: elle admet donc, d'après la théorie générale des fonctions entières, une infinité de zéros. Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de dans la bande On ignore pour l'instant si l'hypothèse de Riemann (voir plus bas), qui affirme que tous ces zéros sont de partie réelle 1/2, est vraie.

La bande critique et l'hypothèse de Riemann

On appelle bande critique la bande . Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle 1/2. On a vérifié numériquement sur plus de 1 500 000 000 zéros que leur partie réelle était bien 1/2 (voir l'article détaillé hypothèse de Riemann pour une explication du fait qu'il ne s'agit pas d'une estimation approchée de cette partie réelle, mais bien d'une démonstration, sans aucune incertitude numérique).

Il a été démontré que l'axe en avait une infinité, dont les 2/5 au moins sont simples. On sait également que la proportion des zéros de la forme β + iγ en dehors de l'axe 1/2 et tels que | γ | < T tend vers 0 quand T tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que β s'écarte de 1/2.

On appelle traditionnellement N(T) le nombre de zéros de la fonction de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale [0;1 + iT]. On pose également N₀(T) pour le nombre de zéros se trouvant sur le segment [1 / 2;1 / 2 + iT]. On a alors les estimations suivantes :

On part de pour laquelle on sait qu'on a d'après la relation fonctionnelle ξ(s) = ξ(1 − s).

Le nombre de zéros de ξ(s) est le même que celui de ζ(s) dans le rectangle défini par les sommets opposés 0 et 1+iT, soit N(T). En effet, la fonction ne s'annule pas dans la bande verticale ]0,1[, celle-ci n'ayant que les zéros réels s=0 et s=1 (elle admet une infinité de pôles réels pour les 1/2-entiers négatifs par la fonction gamma.)

Si T n'es pas l'ordonnée d'un zéro, 2πN(T) est égal à la variation de l'argument de ξ(s) le long du rectangle, conformément au principe de l'argument.

Or, ξ(s) est réelle pour t=0 et également pour σ = 1 / 2, de sorte que la variation totale autour du rectangle est 2 fois la variation autour de la moitié en partant de s=2. Donc πN(T) est égal la variation d'argument entre 2 et 2+iT et de 2+iT à 1/2+iT le long des droites.

D'où Comme , on a en utilisant la formule de Stirling complexe, Car la partie réelle de ζ(s) ne s'annulant pas sur l'axe σ = 2 puisque , la variation de l'argument de ζ(s) entre 2 et 2+iT est inférieure à π / 2.

Il reste à montrer que le dernier terme est O(lnT).

Si s'annule q fois entre 2+iT et 1/2+iT, cet intervalle est divisé en q+1 parties à travers lesquelles ne prend qu'un signe, soit + soit -. Donc dans chaque partie la variation de l'argument de ζ(s) n'excède pas π. et ainsi la variation totale de l'argument est inférieure à (q + 3 / 2)π. Il reste à évaluer q.

Or q est le nombre de zéros de pour , et donc q est nécessairement inférieur au nombre de zéros de f(z) dans |z-2| <= 3/2. On applique alors la formule de Jensen:

«  Soit f une fonction analytique dans le disque contenant les zéros . Alors  »

qui donne où 3/2 < r < 2 et parce que ζ(s) = O(t^{1 − σ}), le membre de droite est inférieur à A ln T.

D'où le résultat annoncé.

 

Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang n, β_n + iγ_n sous la forme

Cette formule montre d'une part que l'ordre m(ρ) de chaque zéro ρ est majoré par

et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. On a en effet

Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante C telle que, pour tout on a

On ne connaît pas la valeur exacte de la constante C mais Conrey a démontré en 1989 que

Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de sont sur la droite critique .

La fonction S(T)

Une analyse plus fine de la fonction N(T) montre qu'on a

où la fonction S(T) est définie par

les arguments étant définis par variation continue depuis la valeur 0 prise en un point réel strictement supérieur à 1, le long d'un chemin menant au point considéré et composé de deux segments, l'un vertical depuis le point réel, l'autre horizontal jusqu'au point voulu.

La formule de Stirling complexe donne alors

On connaît relativement peu de chose sur S(T) sans aucune hypothèse. On a l'estimation

déjà ancienne et qu'on n'arrive pas à améliorer.

Sous l'hypothèse de Riemann, on a

Dans les recherches sur S(T), on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de S(T) qui reste mystérieux:

dont on déduit que la moyenne de S(T) est égale à zéro.

Cependant Selberg a montré que S(T) était minoré par une quantité tendant vers l'infini pour une infinité de valeurs de T. Sur ces valeurs de T, on a

.

Selberg a également montré que

qui montre que la moyenne de S²(T) sur [0,T] est (1 / 2π²)lnlnT.

Titchmarsh a montré d'autre part que S(T) changeait de signes une infinité de fois.

La région sans zéro

La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction est donnée asymptotiquement par la formule suivante :