Fonction zêta de Riemann - Définition

Définition de ln ζ et de sa dérivée

La fonction étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. Il est donc naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions possibles du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur le segment . On prolonge donc par continuité les valeurs de qui sont réelles sur .

Présentation élémentaire pour les complexes du demi plan Re(s) > 1

On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans . On peut se limiter à considérer dans un premier temps s = σ réel. On prend le logarithme du produit. Cela a un sens puisque ζ(σ) ne s'annule pas sur σ > 1.On a alors

Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est possible puisque et σ > 1. Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant la série

Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi plan , définit une fonction holomorphe sur ce demi plan. Si s = σ > 1 est réel, alors

où ln est le logarithme réel habituel. On en déduit que e^D(σ) = ζ(σ). Les deux fonctions e^D et sont holomorphes sur et elles coïncident sur le segment . Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc

pour tout complexe s tel que . Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement

En dérivant la série définissant D, on obtient

de sorte que l'on a, pour l'égalité

où les seules valeurs de Λ(n) non nulles sont définies par Λ(n) = lnp lorsque n = p^m, p étant premier et m entier non nul, c'est la fonction de von Mangoldt. La définition de la série D se réécrit alors

Enfin en prenant le module de e^D(s) = ζ(s) on obtient puis, prenant le logarithme réel on déduit

Extension à Re(s) ≤ 1

Pour les complexes s autres que 1 tels que , la définition du logarithme de est plus délicate. La fonction ayant une infinité de zéros, admet une infinité de points de branchement. Dans les calculs, on pratique alors des coupures de la manière suivante: Une première coupure est pratiquée entre -2 et 1 (qui est aussi un point de branchement bien que ne s'y annule pas). Pour les zéros triviaux, une coupure est pratiquée sur les segments [ − 4n − 4; − 4n − 6[ pour tout . Pour les autres zéros, encore hypothétiques, de la forme β + iγ avec , ils sont répartis symétriquement par rapport à l'axe . On pratique donc également une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques par rapport à l'axe 1/2. Pour les zéros de l'axe 1/2, la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro considéré par une ligne parallèle à l'axe réel. Ce faisant, la fonction est alors uniforme sur le domaine coupé.

Le choix effectué donne

Expressions en fonction des zéros non triviaux

Indépendamment de l'expression en fonction des facteurs primaires de Weierstrass, la valeur peut se calculer en fonction des zéros non triviaux les plus proches du point s = σ + it. On démontre que seuls les zéros à une distance de t inférieure à 1 interviennent vraiment. Le reste s'exprime dans la notation "de Landau" . Il faudra faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros ρ = β + iγ ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient: on somme symétriquement par rapport à 1/2.

La première expression intéressante est

On en déduit

Cette formule montre alors