Extension algébrique - Définition

Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante.

Cette approche permet dans un premier temps de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des Nombres réels quant aux solutions des équations polynômiales. Elle offre enfin une structure adaptée pour mieux comprendre la structure d'un corps. Les extensions algèbriques sont le support des analyses qui permettent par exemple de résoudre les problèmes de l'antiquité comme la Duplication du cube ou la résolution d'équations polynômiales par radicaux décrit dans le théorème d'Abel.

Motivations

Ernst Kummer

La première formalisation de la notion d'extension algébrique provient d'une tentative par Ernst Kummer de démonstration du dernier théorème de Fermat. Un article de 1846 définit la notion de nombre idéal qui aboutira à la définition de Richard Dedekind du concept d'idéal en 1871. Kummer analyse les propriétés d'une extension algébrique engendrée par une racine de l'unité, ce qu'on appelle aujourd'hui extension kummerienne. La formalisation définitive est publiée en 1857. Cet outil permet par exemple de prouver le théorème de Fermat pour une certaine classe de nombres premiers, les nombres premiers réguliers, qui comprend tous les premiers plus petits que 100, à l'exception de 37, 59 et 67 (et bien sûr 2).

Cette démarche consiste à définir des structures algébriques abstraites comme les groupes, les anneaux les corps ou les espaces vectoriels. Elle s'inscrit dans un mouvement qui démarre avec les travaux d'Évariste Galois où est définie la première structure abstraite : celle des groupes. Ces travaux sont à l'origine de l'algèbre moderne. Les travaux de Kummer prennent tout leur sens comme complément de ceux de Galois, et une extension algébrique particulièrement importante est l'extension de Galois. Les propriétés générales de ces structures permettent de résoudre des problèmes de géométrie, d'arithmétique ou d'algèbre ouverts depuis longtemps.

En géométrie, trois des quatre grands problèmes de l'antiquité sont résolus à l'aide de cette approche. Ils proviennent tous de constructions à l'aide de la règle et du compas. On y trouve la trisection de l'angle, la duplication du cube et la constructibilité des polygones réguliers. Toute démonstration moderne de ces trois propriétés utilise l'algèbre abstraite et la notion d'extension algébrique. À la fin du XIX^e siècle l'intégralité de la géométrie est fondée sur des structures algébriques abstraites.

En arithmétique, les tentatives de démonstration du dernier théorème de Fermat sont à l'origine des plus nombreuses avancées. La formalisation de la notion d'extension algébrique devient indispensable pour de nombreuses valeurs de n (le paramètre de l'équation de Fermat). Cette structure permet de marier les différentes structures abstraites pour établir les théorèmes. Une extension algébrique est un espace vectoriel, c'est aussi un corps, il est défini grâce à une structure d'anneau euclidien et un groupe opère naturellement sur ce corps. L'extension algébrique devient alors la structure de base de la théorie algébrique des nombres.

En algèbre, l'extension algébrique est la structure de base de la résolution d'un vieux problème, celui de la résolution d'une équation polynômiale à l'aide de radicaux. Si la structure clé est celle de groupe fini, initialement mis en évidence comme un sous-groupe de permutations, elle apparaît plus simple et plus naturelle dans sa formalisation moderne. Le groupe est alors un groupe fini opérant sur une extension algébrique.