Espace vectoriel - Définition et Explications

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Introduction

En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.

Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d'une action compatible de K (voir la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) exacte). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Pour une introduction au concept de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...), voir l'article Vecteur.

Définitions

Espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.)

Giuseppe Peano (Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 27 août 1858 - Turin, 20 avril 1932) était un mathématicien italien. Il a inventé une langue artificielle issue du latin : le Latino sine flexione.), qui exposa la première définition axiomatique d'un espace vectoriel en 1888

Soit K un corps commutatif. La définition des espaces vectoriels repose sur la structure de corps mais le lecteur peut lire K comme le corps des réels ou celui des complexes. Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :

  • Une loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une...) « + » E^2\rightarrow E, appelée addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...) ou somme vectorielle,
  • Une loi de composition externe (En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est...) à gauche « • » K\times E\rightarrow E, appelée multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui...),

ces deux lois étant assujetties aux relations suivantes.

1. La loi « + » est associative. Elle admet un élément neutre, pouvant être noté 0 ou 0E, appelé vecteur nul. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur v a un opposé, noté -v. Autrement dit, (E,+) est un groupe, pour tous vecteurs u, v et w de E :
u+(v+w) = (u+v)+w
0E +v = v u+(-u) = 0E
2. La loi « • » est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E, distributive à droite par rapport à l'addition du corps K, et associative à droite par rapport à la multiplication dans K. Enfin, l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour la loi externe « • », c'est-à-dire que l'on a les identités suivantes pour tous vecteurs u, v de E, et pour tous scalaires λ, μ :
λ •( u + v ) = ( λ • u ) + ( λ •v ) ( λ + µ ) • u = ( λ • u ) + ( µ • u )
(λμ) • u = λ • ( µ • u) 1 • u = u

De l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) 1, il découle que E est nécessairement non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). L'axiome 2 implique que l'élément neutre additif « 0K » du corps K, qui est absorbant sur K, est donc « absorbant » à gauche pour la loi • (le produit par un vecteur quelconque vaut 0E). On en déduit aussi que 0E est absorbant à droite pour la loi •. On peut également démontrer aisément que la loi + est commutative, ce qui fait de (E,+) un groupe abélien. Enfin, -v, l'opposé de v est le produit de v par le scalaire -1, ce qui résulte encore de l'axiome 2. On a donc pour tout vecteurs u de E, et tout scalaire λ :

0Ku = 0E λ • 0E = 0E -1 • u = -u

Si K = \mathbb{Q}, \mathbb{R} ou \mathbb{C}, on parle respectivement d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.

Combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire

Les deux opérations sur un espace vectoriel permettent de définir la combinaison linéaire, c'est-à-dire la somme finie de vecteurs affectés de coefficients (scalaires). La combinaison linéaire d'une famille de vecteurs (x_i)_{\,i\,\in\, I} ayant pour coefficients (\lambda_i)_{\,i\,\in\, I} est le vecteur de E donné par :

\sum_{\,i\,\in\, I}\lambda_i\, x_i.

Lorsque l'ensemble d'indexation \ I est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite...), il est nécessaire de supposer que le support de la famille (\lambda_i)_{\,i\,\in\, I} soit fini. Rappelons que le support est l'ensemble des indices i pour lesquels λi est non nul. L'intérêt de la structure d'espace vectoriel réside en la possibilité d'effectuer des combinaisons linéaires.

Sous-espace vectoriel

Deux plans vectoriels de l'espace R3 en jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même couleur :) et en vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un...), qui s'intersectent selon une droite vectorielle en bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosité du cyan à une teinte plus sombre comme le...).

Un sous-espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par addition vectorielle et multiplication par un scalaire, ou de manière équivalente, stable par combinaisons linéaires. Une partie F est un sous-espace vectoriel ssi elle vérifie les deux propriétés suivantes :

  • F est un sous-groupe additif de (E,0,+), ie F contient 0, la somme de deux éléments de F est un élément de F, et l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si...) d'un élément de F pour la loi additive est un élément de F ;
  • Le produit d'un scalaire par un vecteur de F appartient à F.

Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille quelconque (finie ou infinie) de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel mais l'union, même finie, n'en est pas un en général. La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est la partie

\ F+G=\left\{x+y \ / \ (x,y) \in F\times G \right\},

qui est toujours un sous-espace vectoriel de E. C'est le plus petit sous-espace vectoriel (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) de l'inclusion) de E contenant F et G. Cette construction se généralise à une famille quelconque de sous-espaces vectoriels.

Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits en somme directe lorsque leur intersection est l'espace nul. Leur somme est alors notée F \oplus G. Les sous-espaces vectoriels F et G sont dits supplémentaires (l'un de l'autre) dans E s'ils sont en somme directe et que F \oplus G = E. L'axiome du choix permet d'assurer l'existence d'un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel, mais il n'y a jamais unicité (sauf dans le cas du sous-espace nul ou de l'espace total). Si E est la somme directe de F et G, tout vecteur de E se décompose alors de manière unique en une somme de deux vecteurs, l'un appartenant à F et l'autre à G. Plus généralement, une famille de sous-espaces vectoriels (Fi) est dite en somme directe dans E si tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme une somme \sum x_i avec pour tout i, x_i \in F_i. Cette définition implique que les sous-espaces vectoriels Fi soient d'intersection nulle deux à deux et que leur somme soit égale à E mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse.

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