Espace vectoriel - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Références et sources

Principaux ouvrages sur l'algèbre linéaire utilisés :

  • (fr) Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Tome 2, Algèbre linéaire
  1. Définition 3, page A-II-3
  2. Les produits infinis sont définis dans la section 5
  3. et Equation (17), page A-II-10
  4. A support fini, défini page A-II-3, pour les familles de scalaires
  5. Définition 4, page A-II-4
  6. Equation (5), page A-II-4
  7. Notation adoptée par Nicolas Bourbaki, page A-II-6
  8. et Remarques page A-II-7
  9. Conoyau : terme défini page A-II-7
  10. Forme linéaire : terme mentionné page A-II-40
  11. Paragraphe 7, section 5 pp. 102-106
  12. Proposition 18, page A-II-26
  13. Théorème 2, page A-II-95
  14. Théorème 3, page A-II-96
  15. Proposition 9, page A-II-101
  • (en) Serge Lang, Linear Algebra, 1996
  1. Corps défini au chapitre II, espace vectoriel au chapitre II. La théorie des corps fait l'objet des chapitre VII à XII ; les notions d'algèbre étant présentées des chapitres XIII à XVIII.
  2. Définition donnée page 86
  3. Linéairement indépendant, expression utilisée page 89
  4. (3.14), page 92
  5. Proposition 3.7, page 89
  6. Définition page 90
  7. Théorème 2, page 85
  8. Théorème 3, page 86
  9. et Théorème 4, page 87
  10. Exercice 6, page 92.
  11. Proposition 3.12, page 91
  12. Théorème 5, page 89
  • (fr) R. Godemont, Cours d'algèbre, 1966
  1. Le chapitre 8 porte sur les anneaux et corps, et le chapitre 10 sur les modules et espaces vectoriels
  2. Les sous-espaces vectoriels sont l'objet du chapitre 10, paragraphe 3, page 168
  3. Exemple 4, pages 166-167
  4. Exemple 1, pages 165-166
  5. Exemple 6, page 167
  6. Les termes forme linéaire et covecteurs sont cités dans l'exemple 3 page 189.
  7. Exemple 6, page 191
  8. Démonstration, pages 238-240
  9. Exemple 1, page 247
  10. Corollaire 1, page 250
  • (en) Michael Artin, Algebra 1991
  1. Le chapitre 3, consacré aux espaces vectoriels, présente d'abord les espaces vectoriels Rn avant de donner une définition la structure de corps.
  2. Proposition 1.7, page 81
  3. Equation 3.1, page 87
  4. Exercice 1.2, page 104
  5. Les transformations linéaires sont étudiées au chapitre 4
  6. Formule (1.2), page 109
  7. Définition 2.13, page 87
  8. et Formule (1.5), page 110
  9. Notation utilisée pages 88 et 100
  10. Définition page 100, pour les familles infinies
  11. Par exemple, preuve de la proposition 3.15, page 92
  12. Définition 3.18, page 93
  13. Proposition 6.9, p. 103
  14. Proposition 3.20, page 93

Sources consultées et utilisées :

  1. cette condition est nécessaire, comme le montre le contre-exemple suivant. Si on prend par exemple E = K, et que la loi externe est définie comme l'opération toujours nulle (λ•u = 0 pour tout λ de K et tout u de E), alors tous les autres axiomes sont satisfaits sauf celui-ci.

Autres articles et livres cités, en particulier sources historiques :

  1. B. Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargoemetrie, 1804
  2. A. Möbius, Der barycentrische Calcul, 1827
  3. H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre
  4. G. Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva, 1888

Historique

La notion d'espace vectoriel naît conceptuellement de la géométrie affine avec l'introduction des coordonnées dans un repère du plan ou de l'espace usuel. Vers 1636, les mathématiciens français Descartes et Fermat donnèrent les bases de la géométrie analytique en associant la résolution d'une équation à deux inconnues à la détermination graphique d'une courbe du plan.

Afin de parvenir à une résolution géométrique sans utiliser la notion de coordonnées, le mathématicien Bolzano introduisit en 1804 des opérations sur les points, droites et plans, lesquelles sont les précurseurs des vecteurs. Ce travail trouve un écho dans la conception des coordonnées barycentriques par Möbius en 1827. L'étape fondatrice de la définition des vecteurs fut la définition par Bellavitis du bipoint, qui est un segment orienté (une extrémité est une origine et l'autre un but). La relation d'équipollence, qui rend équivalents deux bipoints lorsqu'ils déterminent un parallélogramme, achève ainsi de définir les vecteurs.

La notion de vecteur est reprise avec la présentation des nombres complexes par Argand et Hamilton, puis celle des quaternions par ce dernier, comme des éléments des espaces respectifs  \mathbb{R}^2 et  \mathbb{R}^4 . Le traitement par combinaison linéaire se retrouve dans les systèmes d'équations linéaires, définis par Laguerre dès 1867.

En 1857, Cayley introduisit la notation matricielle, qui permit d'harmoniser les notations et de simplifier l'écriture des applications linéaires entre espaces vectoriels. Il ébaucha également les opérations sur ces objets.

Vers la même époque, Grassmann reprit le calcul barycentrique initié par Möbius en envisageant des ensembles d'objets abstraits munis d'opérations. Son travail dépassait le cadre des espaces vectoriels car, en définissant aussi la multiplication, il aboutissait à la notion d'algèbre. On y retrouve néanmoins les concepts de dimension et d'indépendance linéaire, ainsi que le produit scalaire apparu en 1844. La primauté de ces découvertes est disputée à Cauchy avec la publication de Sur les clefs algébrique dans les Comptes Rendus.

Le mathématicien italien Peano, dont une contribution importante a été l'axiomatisation rigoureuse des concepts existants — notamment la construction des ensembles usuels — a été un des premiers à donner une définition contemporaine du concept d'espace vectoriel vers la fin du XIXe siècle.

Un développement important de ce concept est dû à la construction des espaces de fonctions par Lebesgue, construction qui a été formalisée au cours du XXe siècle par Hilbert et Banach, lors de sa thèse de doctorat en 1920.

C'est à cette époque que l'interaction entre l'analyse fonctionnelle naissante et l'algèbre se fait sentir, notamment avec l'introduction de concepts clés tels que les espaces de fonctions p-intégrables ou encore les espaces de Hilbert. C'est à cette époque qu'apparaissent les premières études sur les espaces vectoriels de dimension infinie.

Wikiversity-logo.svg
La Wikiversité possède des cours sur « Espace vectoriel ».
Page générée en 0.087 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise