Espace vectoriel - Définition

Exemples

Translations

Les translations forment un espace vectoriel sur un corps approprié.

Sans disposer d'une définition des espaces vectoriels, une approche possible de la géométrie plane se fonde sur l'étude d'un plan affine de Desargues P. Il comporte des points et des droites, avec une relation d'appartenance appelée incidence, dont les propriétés donnent un sens à l'alignement des points et au parallélisme des droites. On appelle homothétie-translation toute transformation de P préservant l'alignement et envoyant toute droite sur une droite parallèle. Hormis l'identité (considérée à la fois comme une homothétie et une translation), une telle transformation fixe au plus un point ; elle est appelée homothétie si elle fixe un point O, qui est alors son centre ; elle est appelée une translation sinon. L'ensemble des homothéties de centre fixé O forment un groupe commutatif pour la loi de composition, indépendant de O à isomorphisme près, noté K^*. Il est possible d'adjoindre un élément 0 pour former un corps K, dont la loi d'addition est encore définie à partir de P. Tout scalaire non nul λ correspond à une unique homothétie de centre O, et on dit que λ est son rapport. L'ensemble des translations de P forme un K-espace vectoriel, ses lois étant les suivantes :

• La somme vectorielle de deux translations t et t' est leur composée qui est une translation ;
• La multiplication d'une translation t par un scalaire non nul λ de K est la conjugaison de t par une homothétie h de centre quelconque et de rapport λ, autrement dit la transformation hth ^{− 1}, qui est une translation.

Le vecteur nul est l'identité. L'opposé d'un vecteur représenté par une translation t est le vecteur défini par t^-1.

Une présentation détaillée est donnée dans plan affine de Desargues. Ces considérations permettent de faire le lien entre une approche moderne de la géométrie fondée sur l'algèbre linéaire, et une approche axiomatique.

Produits et sommes directes

Soit une famille (E_i) de K-espaces vectoriels indexée par l'ensemble I. Les familles (v_i) de vecteurs v_i appartenant respectivement à E_i forment un ensemble, noté . Les lois suivantes en font un K-espace vectoriel, appelé produit E_i de la famille (E_i) :

• Somme vectorielle : La somme de (v_i) et (w_i) est la famille (v_i+w_i) ;
• Produit par un scalaire : Le produit de (v_i) par λ est (λv_i).

Le vecteur nul est la famille (0)_i formée par les vecteurs nuls des espaces E_i. Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou non. Une famille (v_i) dans est à support fini s'il y a un nombre au plus fini d'indices i pour lesquels v_i est non nul. Les familles à support fini forment un sous-espace vectoriel de , appelé la somme directe des espaces E_i et qui se note .

Tout corps K se présente comme un K-espace vectoriel. L'addition et la multiplication de K fournissent respectivement l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire. En prenant la famille E_i=K, on forme son produit K^I et sa somme K^(I) respectivement, tous deux étant des K-espaces vectoriels. K^I est l'espace des fonctions de I dans K. L'intérêt des espaces K^(A) reposent sur les propriétés suivantes :

• Pour tous ensembles A et B, les K-espaces vectoriels K^(A) et K^(B) sont isomorphes ssi A et B sont en bijection.
• Tout K-espace vectoriel E est isomorphe à K^(A) pour un ensemble A. Le cardinal de A s'appelle la dimension de E.

Par exemple, pour I= , K^{( )} est l'espace nul, un espace vectoriel qui ne contient qu'un seul vecteur, le vecteur nul. Un ensemble fini I={1,...,n} permet de former l'espace vectoriel Kⁿ des n-uplets d'éléments de K, l'addition se fait terme à terme et la multiplication par un scalaire est distribuée sur chaque terme. Autre exemple, K^N est l'espace des suites dans K, et K^(N) le sous-espace des suites à support fini. Lorsque I est le produit cartésien , alors le produit K^I est noté , qui est l'espace des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K.

Les fonctions R→R continues forment un R-espace vectoriel, noté ⁰(R,R).

Autres exemples

Voici quelques exemples d'espaces vectoriels qui servent entre autres en analyse ou en géométrie :

• L'espace nul est l'espace vectoriel sur un corps K comportant un unique élément, qui est nécessairement le vecteur nul. L'espace nul est l'objet initial et l'objet final de la catégorie des espaces vectoriels sur K.
• Toute extension de corps de K, c'est-à-dire tout plongement de K dans un corps L, munit L d'une structure d'espace vectoriel sur K.
• L'ensemble des fonctions continues réelles ou complexes définies sur espace topologique X est un espace vectoriel (réel ou complexe).
• L'ensemble des (germes de) solutions d'une équation différentielle linéaire homogène est un espace vectoriel (réel ou complexe).
• L'ensemble des suites numériques satisfaisant une relation de récurrence linéaire est un espace vectoriel.