Espace préhilbertien - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien, en omettant l'hypothèse de la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie.

Motivations

Le cas général d'un espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion...) en dimension infinie diffère à bien des égards de la dimension finie. L'espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans,...) n'est plus nécessairement isomorphe à l'espace, l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel n'est plus nécessairement un supplémentaire de ce sous-espace, l'orthogonal de l'orthogonal d'un sous-espace ne redonne pas nécessairement ce sous-espace. Par ailleurs, les applications linéaires ne sont plus nécessairement continues. Les techniques d'analyse de l'espace sont en conséquence un peu différentes. Les cas de dimension finie sont traités dans les articles Espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie...) et Espace hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.). Le cas général est l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) essentiel de cet article.

Une application importante est l'étude des espaces de fonctions à l'aide des outils de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces...) et bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ...). Le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle...) est donné par l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à...) du produit de deux fonctions, ou plus précisément d'une fonction et du conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.) de l'autre pour conserver le caractère sesquilinéaire. A la différence du cas de la dimension finie, le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) n'est plus toujours défini, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) où l'image du couple (x,x) peut être nulle même si x est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) non nul. Une intégrale ne dépend en effet pas des valeurs de la fonction sur un ensemble de mesure nulle (En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on utilise ou plutot de sa...). Le terme utilisé est semi-produit scalaire. Une précision est généralement donnée : l'espace est séparable, c'est-à-dire qu'il existe une famille de vecteurs dénombrable et dense dans l'espace. Cette configuration correspond à nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'espaces fonctionnels.

Un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par...) permet de pallier la difficulté induite par la dimension infinie, la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).). Le produit scalaire définit une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce...), par voie de conséquence une distance et une topologie. Si le caractère spécifique que confère le produit scalaire à l'espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) permet la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) de nombreux résultats, une propriété fait néanmoins défaut. Le préfixe "pré-" apparaissant dans le mot préhilbertien fait référence à l'absence d'une hypothèse particulière : la complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être...), qui se révèle indispensable pour de nombreux résultats. Lorsque cette hypothèse est vérifiée, l'espace porte le nom d'espace hilbertien ou Hilbert.

De nombreux espaces fonctionnels naturels ne sont pas complets, par exemple l'espace des fonctions continues à support compact. Il existe une manière simple de compléter un préhilbertien, à l'aide de son dual. Une démarche fréquente consiste à enrichir l'espace préhilbertien pour disposer de résultats puissants.

Propriétés

Topologie

Comme pour l'étude des différents espaces fonctionnels, l'absence d'hypothèse sur la dimension impose l'utilisation de nouveaux outils. L'essentiel des techniques de la dimension finie s'avère en effet inopérant. La topologie induite par le produit scalaire est suffisamment spécifique pour établir d'importants résultats. L'analyse de cette topologie dans le cadre général des espaces vectoriel normés montre qu'elle est compatible avec les lois de composition de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.). Pour être précis, l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...), la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) externe et la norme sont continues pour cette topologie. Les boules ouvertes de centre un point (Graphie) x de l'espace forment une base de voisinages, elles sont convexes.

Elles possèdent une propriété supplémentaire. Les boules sont bien arrondies : les segments suffisamment longs inclus dans une boule ont leur milieu relativement loin du bord. Cette propriété s'exprime de la manière suivante :

\forall \epsilon>0,\; \exists \delta>0 ,\; \forall x,y \in \mathcal{B}(1,0) \quad \|x-y\|>\epsilon \Rightarrow \frac 12 \|x+y\|< 1-\delta

Ici, B(1,0) désigne la boule de rayon un et de centre le vecteur nul. Cette propriété ne confère pas au préhilbertien le statut d'espace uniformément convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une...) car il n'est pas nécessairement complet.

Sous-espace et espace produit

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) sous-espace vectoriel d'un préhilbertien est un préhilbertien pour la restriction du produit scalaire.

Soit E et F deux préhilbertiens, alors le produit scalaire <.,.>ExF défini par l'égalité suivante, confère au produit ExF le statut d'espace préhilbertien :

\forall (x,y)\,(x',y') \in E\times F \qquad \langle(x,y),(x',y')\rangle_{E\times F} = \langle x,x'\rangle_E + \langle y,y'\rangle_F

Espace quotient

Soit F un sous-espace fermé de E, l'analyse générale des espaces vectoriels normés montre que E/F est un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par David Hilbert et Stefan...) pour la norme suivante :

\forall \bar x \in E/F \quad \|\bar x\|_{E/F} = \min_{x\in \bar x} \|x\|_E \quad \text {ici} \quad \|\bar x\|_{E/F} = \sqrt {\min_{x\in \bar x} \langle x,x\rangle_E}

Dans le cas d'un préhilbertien, cette norme dispose d'une propriété forte :

  • La norme issue du quotient de E est associée à un produit scalaire. Il est donné par la formule suivante :
\forall \bar x,\bar y \in E/F, \quad \langle \bar x,\bar y\rangle=\frac14(\|\bar x+\bar y\|^2- \|\bar x-\bar y\|^2 + i\|\bar x+i\bar y\|^2 - i\|\bar x-i\bar y\|^2)

Ainsi, le quotient est aussi un espace préhilbertien.

Cette configuration est analogue dans le cas d'un semi-produit scalaire. L'analyse d'une semi-norme montre que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des vecteurs de semi-norme nulle est un sous-espace vectoriel fermé. Cette propriété amène à la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) suivante :

  • Le noyau d'un semi-produit scalaire est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à l'espace entier.

Encore une fois, la configuration analysée pour les semi-normes est compatible avec celles des préhilbertiens non séparés.

  • Le noyau d'un semi-produit scalaire est le noyau de la semi-norme associé.

Ainsi, un vecteur est de semi-norme nulle si et seulement s'il est orthogonal avec tous les vecteurs de l'espace. Comme pour le cas des semi-normes, il devient possible de quotienter un préhilbertien non séparé par le noyau du semi-produit scalaire :

  • Le quotient d'un préhilbertien non séparé par le noyau du semi-produit scalaire est un préhilbertien séparé.

Comme dans le cas des espaces vectoriels munis d'une semi-norme, cette technique est utilisée en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en...) pour disposer d'un espace séparé. Un exemple est donné par les fonctions F nulles en dehors de Ω et intégrables (au sens de Riemann, c'est bien suffisant). Pour éviter les difficultés liées aux intégrales impropres, on peut supposer de plus que Ω est bornée. Le semi-produit scalaire naturel est le suivant :

\forall f,g \in F \quad \langle f,g \rangle = \int_{\Omega} f(x) \overline{g(x)} dx

Le noyau F0 du semi-produit scalaire est composé des fonctions de F nulles partout sauf peut-être sur un ensemble négligeable (En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on...) de Ω. Cet ensemble est l'orthogonal de F. Le quotient de F par F0 désigne l'ensemble de classes de fonctions intégrables et nulles en dehors de Ω et qui ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle.

Base

L'un des attraits d'un préhilbertien réside dans le fait que, sous des hypothèses très générales, il existe une base de Hilbert ayant des propriétés proches de celle d'une base au sens algébrique du terme.

A la différence de la dimension finie, il n'est plus possible d'exprimer un vecteur comme une somme ne comportant qu'un nombre fini de termes non nuls. Le vecteur apparaît comme la limite d'une série dont l'ensemble des termes non nuls est dénombrable. En revanche la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) étant absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus...), l'ordre de la série n'a guère d'importance.

L'existence n'est pas toujours garantie. En revanche, elle est assurée à l'aide du lemme de Zorn (En mathématiques, Le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn), est un théorème de la...) si l'espace est complet. Et, à l'image de tous les espaces vectoriels normés, il est relativement simple de compléter un préhilbertien.

Cette existence assurée par la complétude n'est pas totalement satisfaisante. L'utilisation de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) du choix dans le lemme de Zorn rend la méthode inutilisable pour une construction effective d'une telle base. En revanche le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) de Stone-Weierstrass montre que de nombreux espaces fonctionnels sont séparables. Cette hypothèse supplémentaire est suffisante pour garantir l'existence d'une base de Hilbert sans l'utilisation de l'axiome du choix. Le Procédé de Gram-Schmidt (En algèbre linéaire, le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour orthonormaliser une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.) permet de construire effectivement une telle base. Les polynômes trigonométriques ou ceux de Legendre sont des exemples pour l'espace des fonctions sur un segment des nombres réels, de carrés intégrable au sens de Lebesgue.

Complétude

Il est possible de compléter un espace vectoriel normé. Pour être précis, il existe un K espace vectoriel normé H et J une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) linéaire injective de E dans H tel que l'image de E par J soit dense dans H. Si M est un réel strictement positif, produit scalaire est une application uniformément continue du produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien binaire à...) de la boule de rayon M avec elle même dans K. Comme K est un espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la...), car les réels et les complexes le sont, il se prolonge par continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la...) sur cette boule. Comme il n'existe qu'un unique prolongement par continuité (cf. l'article Continuité uniforme), pour deux vecteurs, ce prolongement ne dépend pas de la boule les contenant tous deux. Enfin, comme tout couple de vecteurs est inclus dans une boule, il est possible de prolonger le produit scalaire sur H.

La racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) du prolongement du produit scalaire appliquée sur deux fois le même vecteur est un prolongement par continuité de la norme. L'unicité de ce prolongement montre que J est une isométrie d'espace préhilbertien.

Opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) borné

Les opérateurs bornés sont ceux par lesquels l'image de la boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans muni de la distance euclidienne usuelle. Cependant, les boules...) est bornée. Ce sont les opérateurs continus. Sur un préhilbertien complexe on a la propriété suivante :

  • Soient a un opérateur sur un préhilbertien complexe E, et b la borne supérieure de la fonction de la boule unité dans R+ qui à x associe |<a(x), x>|. Alors la majoration suivante est vérifiée :
\forall x,y \in E\quad |\langle a(x),y\rangle | + |\langle x,a(y)\rangle| \le 2b\|x\|.\|y\|\ ;
  • en particulier
    • si b est fini alors a est borné ;
    • si, pour tout x élément de E, a(x) est orthogonal à x, alors a est nul.

Sur un préhilbertien réel, ce résultat n'est pas vrai. (Un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter...) est fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de petites...), dans le plan, par une rotation d'un quart de tour.)

Il est utilisé par exemple pour l'étude des opérateurs compacts autoadjoints.

Structure du dual

Le dual possède des propriétés essentielles, à l'origine de la spécificité de la norme euclidienne (issue du produit scalaire) par rapport à une norme quelconque. Les conséquences sont aussi multiples que profondes. Ici, le terme "dual" est à prendre au sens topologique, c'est-à-dire que ne sont étudiées que les formes linéaires continues. Le dual est ainsi un espace vectoriel normé par la norme d'opérateur.

Tout d'abord, il possède la propriété, a priori manquante à E et pourtant si nécessaire :

  • L'espace dual est complet.

Ensuite, le dual contient l'espace E et E est dense dans son dual. Il possède ainsi un rôle analogue aux nombres réels vis à vis des rationnels :

  • L'application canonique φ de E dans son dual est une injection, son image est dense.

De plus, sa norme naturelle est le prolongement par continuité de celle de E. La norme en tant qu'opérateur de tout élément de E, identifié à une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée...), correspond à la racine de la forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise...) du produit scalaire de l'élément en tant que membre de E.

  • L'application canonique φ de E dans son dual est une isométrie (si l'ensemble d'arrivé considéré est l'image φ) de E muni de la norme du produit scalaire vers son dual muni de la norme d'opérateur.
  • Le produit scalaire de E se prolonge sur son dual par continuité. Ce prolongement est un produit scalaire tel que la norme associée confère un statut d'espace de Hilbert au dual.

Il existe ainsi une autre manière de compléter E, il suffit de l'identifier à une partie de son dual. Le dual est alors le complété. Comme il n'existe qu'une complétion à un isomorphisme isométrique près, cette méthode donne un résultat équivalent à la méthode générique de complétion d'un espace vectoriel normé. Le dual est complet et uniformément convexe, le théorème de Milman–Pettis montre qu'il est alors réflexif. Il possède néanmoins des propriétés plus fortes, développées dans l'article Espace de Hilbert.

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