Espace de Minkowski - Définition et Explications

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Introduction

Albert Einstein
Avant Einstein
Avec Einstein
En physique des particules
Méta

Un espace de Minkowski, du nom de son inventeur Hermann Minkowski, est un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) à quatre dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) modélisant l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de...) de la relativité restreinte : les propriétés physiques présentes dans cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) correspondent à des propriétés géométriques de cet espace, la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) n'étant pas vraie car le réalisme physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne...) n'est pas entièrement contenu dans cette géométrisation.

La physique classique est également géométrisée, et ce depuis Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre 1642 J – 20 mars 1727 J) est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et...), voire avant ; l'intérêt de cette géométrisation de la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la...) est dans le fait que le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) lui-même y est représenté comme indissociablement lié à l'espace matériel, que les propriétés abstraites de la relativité restreinte y trouvent une représentation proche de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque...), et que cela a aidé à la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des...) de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie...).

Historique

Cet espace a été introduit dès 1905 par Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, physicien et philosophe français. Il a réalisé des travaux...), soit deux ans avant les publications de Minkowski sur ce sujet. La primeur de la découverte est un sujet à débats, mais il semble, d'après certains historiens des sciences, que l'interprétation moderne de cet espace comme espace-temps physique, et non pas convention calculatoire, est une idée de Minkowski, qui abandonna l'éther électromagnétique, à la suite d'Einstein, alors que Poincaré n'y renonça jamais vraiment, considérant que dans un référentiel quelconque les quantités mesurées sont toujours « apparentes », alors que les quantités « réelles » sont mesurées dans le référentiel de l’éther.

Poincaré aurait proposé cet espace comme une présentation algébrique et géométrique possible, pratique d'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) calculatoire, mais axiomatique, c'est-à-dire conventionnelle, des propriétés mathématiques liées au principe de relativité (Le principe de relativité affirme que les lois physiques s'expriment de manière identique dans tous les référentiels inertiels.) et à l'invariance des équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de Lorentz.) par changement de référentiel inertiel, en privilégiant de manière conventionnelle comme réel le référentiel de l'éther, c'est-à-dire un espace réel qui serait classique. Seul Hermann Minkowski aurait vu dès 1907 que cet espace était un modèle expérimentable (et pas seulement conventionnel) d'un espace-temps où espace et temps sont liés dans les lois de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...) et y développa, entre autres, les conditions de la causalité et de la simultanéité (La notion de simultanéité est intuitive dans un univers, celui de Newton, où le temps est absolu et où temps et espace sont indépendants. Dans l'univers de la relativité restreinte proposé en 1905 par Albert Einstein, les notions...) suivant le référentiel de l'observateur. Poincaré se rapprochera de ce point de vue en 1912, dans sa dernière conférence intitulée L'espace et le temps prononcée à Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville d'Angleterre et du Royaume-Uni. Fondée il y a plus de 2 000 ans par les Romains, la ville est aujourd'hui devenue un centre culturel, commercial...), où il exprimera que l'on peut définir un espace-temps à partir du groupe de symétrie des lois de la physique, en posant cette fois le principe de relativité comme une convention.

Géométrie

La géométrie dans l'espace de Minkowski présente un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de différences avec la géométrie dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses...). Elle possède également des significations physiques précises.

Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire.)

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Un espace de Minkowski possède une notion d'orthogonalité définie par la forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui, à deux vecteurs...) (\vec u | \vec v). Deux vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) sont dit orthogonaux dans l'espace de Minkowski si et seulement si (\vec u | \vec v ) = 0.

La notion d'orthogonalité est importante dans l'espace de Minkowski, car le complément orthogonal de la direction (tangente) d'une ligne d'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) en un point p est un « plan » tridimensionnel contenant tous les événements simultanés à l'événement p. En quelque sorte, il s'agit de prendre le « complément orthogonal du temps propre de cette ligne d'univers », ce qui donne - par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l'orthogonalité - l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des points qui n'ont aucune composante temporelle (Δτ = 0 dans le référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces...) tangent à la ligne d'univers), et qui sont donc « au même instant » que l'événement p pour cette ligne d'univers. Cet espace tridimensionnel est nommé plan de simultanéité pour cet événement sur cette ligne d'univers.

On voit bien qu'il n'est pas possible de prendre le complément orthogonal d'un simple point (événement) p sans lui associer sa ligne d'univers et donc sa vitesse (On distingue :). Cela illustre bien que - en relativité restreinte - la notion de simultanéité dépend de la vitesse.

Dans la représentation qu'est un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc....) de Minkowski, l'orthogonalité minkowskienne possède une propriété que ne possède pas l'orthogonalité euclidienne : l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre un vecteur et son orthogonal varie en fonction de l'inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un autre. Il décrit l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence (généralement le plan de l'écliptique, c'est-à-dire...) du vecteur (en géométrie euclidienne, l'angle est fixe et égal à 90°). Quand le vecteur est de « genre lumière », ce vecteur est alors son propre orthogonal : la ligne d'univers est contenue dans le plan de simultanéité. Pour un photon (En physique des particules, le photon (souvent symbolisé par la lettre γ — gamma) est la particule élémentaire médiatrice de...), le temps ne s'écoule pas quand il progresse sur sa ligne d'univers.

Inégalité triangulaire

Paradoxe des jumeaux (En physique, le paradoxe des jumeaux (parfois appelé paradoxe de Langevin) est une expérience de pensée qui semble montrer que la relativité restreinte est contradictoire. En fait, le paradoxe n'a...) dans un espace de Minkowski

Dans un plan euclidien, l'inégalité triangulaire est la relation selon laquelle, quel que soit un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée...) ABC, alors les longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) AB, BC et AC vérifient l'inégalité : \scriptstyle AC \leqslant AB + BC, l'égalité ayant lieu quand les points A, B et C sont alignés. Cette inégalité signifie que dans l'espace euclidien, le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite.

Dans l'espace Minkowskien, il existe un équivalent de l'inégalité triangulaire, établissant les relations entre les longueurs des côtés d'un triangle. Toutefois, celle-ci n'est cohérente que si le triangle est entièrement compris dans un cône de lumière, et si \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AC} sont orientés vers le futur (c'est-à-dire si le carré de leur pseudo-norme est strictement positive).

Pour un triangle ABC vérifiant ces conditions, on a alors l'inégalité dans l'espace Minkowskien :

AC \geqslant AB + BC

Cette inégalité est l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) de celle de l'espace euclidien. Dans l'espace Minkowskien, un chemin faisant un détour (dans l'espace-temps) est toujours plus « court » (en termes d'intervalle espace-temps) que la « ligne droite ». Une « ligne droite » dans l'espace Minkowskien est la ligne d'univers d'une particule qui n'est soumise à aucune force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent...), donc à vitesse constante ou stationnaire.

Cette propriété permet d'illustrer et d'expliquer le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une...) des jumeaux en relativité restreinte. Le « jumeau » restant sur terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et...) parcourt une « ligne droite » dans l'espace-temps AC. Le jumeau (Littéralement, le terme jumeau se réfère à tous les individus (ou l'un de ceux-ci) qui ont partagé le même utérus et qui sont nés le même jour. Les triplés (ou...) qui voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est considérablement développé...) parcourt deux segments de droites AB et BC (il fait demi-tour en B pour rejoindre son jumeau en C). Les lignes d'univers des deux jumeaux forment un triangle ABC, dont les côtés sont de genre temps (vitesse des jumeaux inférieure à celle de la lumière) et orientés vers le futur.

L'intervalle espace-temps du jumeau qui voyage est donc inférieur, selon l'inégalité triangulaire minkowskienne, à celui du jumeau stationnaire. Le temps propre du jumeau qui voyage est donc inférieur, et il est donc plus jeune au terme de son voyage que son jumeau resté sur Terre.

Géométrie hyperbolique

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