Espace de Minkowski - Définition

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- Introduction - Historique - Géométrie - Structure algébrique - Faire de la physique

Structure algébrique

L'espace de Minkowski étant un espace affine de dimension quatre, il est doté d'un point O (l'origine du repère) et d'un espace vectoriel de dimension quatre (sur $\R$ ). L'espace vectoriel est doté d'une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée, notée $(\vec u | \vec v )$ ou $\vec u . \vec v$ , qui n'est pas un produit scalaire car elle n'est pas définie positive (ni définie négative) : on suppose qu'il existe une base vectorielle $(\vec e_0 ; \vec e_1 ; \vec e_2 ; \vec e_3)$ telle que $(\vec u | \vec v )\, =\, u^0.v^0-u^1.v^1-u^2.v^2-u^3.v^3$ , où $\vec u = u^0.\vec e_0+u^1.\vec e_1+u^2.\vec e_2+u^3.\vec e_3$ .

Comme pour toute forme bilinéaire, il lui correspond une forme quadratique (qui est le carré de la pseudo-norme) : $(\vec u | \vec u) \, =\, (u^0)^2-(u^1)^2-(u^2)^2-(u^3)^2$

La matrice associée à cette forme bilinéaire, dans la base considérée ci-dessus, est

g = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}

, on a donc

, en écriture matricielle.

L'écriture tensorielle permet d'introduire la convention de sommation d'Einstein : en définissant les « coordonnées contravariantes »

et les « coordonnées covariantes »

, on écrit alors

Dans l'espace affine, les coordonnées d'un point M sont notées $\ M(x^0;x^1;x^2;x^3)$ . Il est doté d'une distance particulière $\Delta s_{(\; ; \;)}$ souvent appelée pseudo-métrique, définie dans le repère $(O; \vec e_0 ; \vec e_1 ; \vec e_2 ; \vec e_3)$ par $\left( \Delta s_{(A;B)} \right)^2=\left( \overrightarrow{AB}|\overrightarrow{AB} \right) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}$ . Ce que l'on note plus simplement $AB^2 = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} \; ,$ quand il n'y a pas de risque de confusion entre cette forme bilinéaire et le produit scalaire euclidien. Dans cette écriture, le carré est conventionnel car la forme quadratique admet aussi des résultats de signe négatif, et $\ \Delta s_{(A;B)}$ n'est bien défini que si $(\overrightarrow{AB} | \overrightarrow{AB}) \, \ge 0$ .

L'ensemble des transformations affines de l'espace de Minkowski qui laissent invariante la pseudo-métrique forme un groupe nommé groupe de Poincaré dont les transformations de Lorentz forment un sous-groupe.

Faire de la physique

Géométrisation de la physique relativiste

Le cône de lumière de l'évènement e₀.
La flèche rose montre la dimension temporelle et les flèches grises, les dimensions spatiales.

Les points géométriques représentent les événements physiques et sont repérés par quatre coordonnées (ct,x,y,z) : la coordonnée de temps et les trois coordonnées d'espace. Les repères mathématiques y représentent les référentiels galiléens, et l'obligation en mathématiques de choisir un repère, pour désigner les points par des coordonnées, correspond à celle, en physique, de choisir un référentiel pour l'observateur, y compris pour le choix de la mesure du temps.

Du point de vue du réalisme intuitif, la particularité mathématique de cet espace affine tient à sa distance entre deux points, appelée pseudo-métrique, qui a été construite par Hermann Minkowski pour être invariante par les changements de repère que sont les transformations de Lorentz. La pseudo-métrique est aussi appelée pseudo-norme quand on utilise que l'espace vectoriel sous-jacent à l'espace affine. Cette pseudo-métrique correspond au temps propre entre deux événements qui peuvent être causalement joints, ou correspond à la distance propre entre eux s'il ne le peuvent pas.

La pseudo-métrique, notée $\ \Delta s$ , est définie par $\ \Delta s^{2} = -c^{2}(\Delta t)^2+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}$ ou $\ \Delta s^{2} =c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}$ suivant la convention de signes $( - ; + ; + ; + )$ ou $\ (+;-;-;-)$ choisie. Cette définition rend la pseudo-métrique identique à l'intervalle d'espace-temps qui est l'invariant relativiste par changement de référentiel galiléen.

Un événement étant donné, l'ensemble des événements physiquement joignables dans le futur et de ceux du passé à partir desquels on pouvait joindre l'événement donné, forme un cône dans l'espace de Minkowski, appelé cône de lumière, et permettant des raisonnements purement géométriques par des dessins appelés diagrammes de Minkowski.

Cet espace est pseudo-euclidien : bien que la métrique ne soit qu'une pseudo-métrique, les géodésiques y sont les droites, ce qui fait dire que cet espace est plat comme dans un espace euclidien. Les inégalités triangulaires qui y sont valables montrent qu'un segment est le chemin le plus long entre deux points, ce qui est une nette différence avec la géométrie euclidienne.

Dans cet espace, la dimension relative au temps peut être considérée comme un nombre imaginaire, alors que les trois autres coordonnées (spatiales) sont toujours des nombres réels : ce choix modifie l'écriture de la pseudo-norme et la présentation des calculs, sans apporter plus de simplicité.

Un référentiel de l'espace (affine) de Minkowski est un référentiel galiléen pour un observateur : choix d'un lieu et moment de référence, choix d'axes tridimensionnels et d'un temps. Un observateur, et son référentiel, étant plongé dans cet espace, il repère un événement (point de l'espace-temps) par ses coordonnées temporelle (t) et spatiales (x;y;z) : un point M est noté $\ M(ct;x;y;z)$ , ou $\ M(x^0;x^1;x^2;x^3)$ , en posant $\ x^0 = ct ~;~ x^1 = x ~;~ x^2 = y ~;~ x^3 = z$ .

Orienter l'espace et le temps

La structure algébrique seule ne permet pas de faire de la physique, il faut pour cela au moins : introduire le principe de causalité qui impose que l'on ne peut physiquement rebrousser le cours du temps ; postuler qu'un changement physique de référentiel galiléen ne peut changer l'orientation de l'espace tridimensionnel.

Changer de référentiel

Changer de référentiel physique, en respectant la relativité, c'est utiliser un changement de référentiel mathématique qui laisse invariante la pseudo-norme, c'est-à-dire le carré de l'intervalle d'espace-temps : on doit donc se limiter aux éléments du groupe de Poincaré. Mais les contraintes physiques d'orientation de l'espace et du temps obligent à écarter 75% des éléments du groupe de Poincaré pour ne garder que ceux qui représentent un changement de référentiel réaliste : les translations, les rotations de l'espace physique à trois dimensions et les transformations de Lorentz propres et orthochrones.

Ligne d'univers

La trajectoire spatio-temporelle d'un corps ponctuel massif, appelée sa ligne d'univers, est une courbe dans l'espace de Minkowski ; mais toute courbe ne peut pas prétendre être une trajectoire réaliste (ligne d'univers) : elle doit pour cela toujours aller dans le sens croissant du temps et être entièrement contenue à l'intérieur de chacun des cônes de lumière centrés en chacun de ses points successifs (on dit alors qu'elle est de « genre temps ») ; sinon cela signifie que la vitesse de la lumière est atteinte ou dépassée au point où cette condition n'est pas respectée. La trajectoire d'un corps ponctuel de masse nulle (un photon par exemple) est une ligne d'univers contenue dans le bord du cône de lumière, cette trajectoire étant rectiligne en général.

Comme toute courbe, une ligne d'univers peut être paramétrée, le paramètre n'étant pas obligatoirement doté d'un sens physique, mais tout observateur plongé dans cet espace-temps doit y avoir accès : n'oublions pas que l'espace de Minkowski représente notre espace dans lequel le physicien se trouve. Les coordonnées du corps M s'écrivent alors $\ M(ct(\lambda);x(\lambda);y(\lambda);z(\lambda))$ , où $\lambda \in \R$ est le paramètre.

Pour l'observateur, le choix du temps de son référentiel comme paramètre est le plus naturel : les coordonnées du corps M s'écrivent alors $\ M(ct;x(t);y(t);z(t))$ . Avec ce choix, qui est le plus accessible à l'observateur et utilisé en physique classique, la vitesse s'exprime $\ V(c;\dot x;\dot y;\dot z)$ , et n'est pas un quadrivecteur : sa pseudo-norme $c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ est variable par changement de référentiel (sauf si $\ v=c$ ce qui n'est possible que si la masse est nulle) et les propriétés qu'elle vérifie ne sont peut-être pas valables dans d'autres référentiels. Par ce choix d'un paramètre propre à son référentiel, l'observateur accède difficilement à des propriétés générales concernant le corps en mouvement.

Quadrivecteurs

Un quadrivecteur est un vecteur $\ a$ ayant quatre coordonnées $\ (a^0;a^1;a^2;a^3)$ liées au référentiel choisi, mais dont la pseudo-norme $\ \left(a^0\right)^2 -\left(a^1\right)^2 -\left(a^2\right)^2 - \left(a^3\right)^2$ est indépendante du référentiel. On dit que la pseudo-norme d'un quadrivecteur est un invariant relativiste.

Quadri-vitesse

La quadrivitesse est un quadrivecteur, prolongeant la notion de vecteur vitesse dans l'espace de Minkowski. Ce vecteur est tangent à la ligne d'univers au point de l'espace-temps considéré, et dirigé vers le futur, sa pseudo-norme ne dépend pas du référentiel choisi pour en exprimer les coordonnées.

Cas d'un corps massif

Pour déterminer des propriétés du mouvement du corps massif qui restent valables dans d'autres référentiels que le sien, l'observateur doit choisir un paramètre qui reste inchangé d'un référentiel à l'autre : le temps propre $\ \tau$ du corps en mouvement. Il n'est pas facilement accessible à l'observateur, toutefois sa définition permet d'écrire $d\tau = dt.\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ où $\ v$ est la vitesse spatiale calculée de manière classique, d'où $\Delta \tau = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}dt \;.$ Ce qui montre que le temps propre peut être obtenu dans n'importe quel référentiel, par des mesures classiques et quelques calculs.

En paramétrant par $\ \tau$ , on a $\ M(x^0(\tau);x^1(\tau);x^2(\tau);x^3(\tau))$ , et $\ V\left( \frac{dx^0}{d\tau};\frac{dx^1}{d\tau};\frac{dx^2}{d\tau};\frac{dx^3}{d\tau} \right) = V\left( V^0;V^1;V^2;V^3 \right)$ . On remarque qu'ainsi définies les $\ V^i$ ont la dimension d'une vitesse.

L'égalité $\ c^2d \tau^2= c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ , amène à $\left(V^0 \right)^2-\left(V^1 \right)^2-\left(V^2\right)^2-\left(V^3 \right)^2 = c^2$ , c'est-à-dire $\ V^2 = V^i.V_i = c^2$ . La vitesse ainsi considérée est de pseudo-norme invariante par changement de référentiel : c'est un quadrivecteur.

Par la relation entre $\ dt$ et $\ d\tau$ , on montre que $\ V \left( V^0;V^1;V^2;V^3 \right)= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(c;\dot x;\dot y;\dot z) = \gamma .(c;\vec v) \;$ , donc sachant que dans un référentiel inertiel un corps libre est doté d'une vitesse (classique : $\vec v(\dot x;\dot y;\dot z)$ ) constante par rapport au temps t, il en est de même pour sa quadri-vitesse $\ V$ par rapport au temps propre $τ$ .

Cas d'un corps de masse nulle

Une particule de masse nulle est dotée d'une vitesse (classique) égale à la vitesse de la lumière : $\ v = c\; .$ Dans ce cas la pseudo-norme de $(c;\dot x;\dot y;\dot z)$ est égale à $c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = 0 \;$ , c'est donc un quadri-vecteur : les égalités établies pour un corps massif n'ont pas besoin de l'être pour un corps de masse nulle, et d'ailleurs ne le peuvent pas, le temps propre de ce corps étant nul ( $\scriptstyle \ d\tau = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.dt =0\;$ ).

De manière générale, l'égalité $\ c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 =0$ montre que tout paramètre $\ \lambda$ peut être choisi pour paramétrer la trajectoire du corps car la « vitesse » $\scriptstyle V= \frac{dM}{d\lambda}$ ainsi obtenue a une pseudo-norme constante (nulle), et est donc un quadrivecteur : $\scriptstyle V^i.V_i = \left( \frac{cdt}{d\lambda} \right)^2-\left( \frac{dx}{d\lambda} \right)^2-\left( \frac{dy}{d\lambda} \right)^2-\left( \frac{dz}{d\lambda} \right)^2 =0$ .

Quadri-impulsion

Cas d'un corps massif

À l'image de l'impulsion ou quantité de mouvement classique, on définit la quadri-impulsion $\ P = m.V$ , qui est un quadrivecteur car proportionnelle à la quadri-vitesse par un coefficient invariant par changement de référentiel (m, la masse). Si le corps est libre, sa quadri-impulsion est constante, comme sa quadri-vitesse.

On note $\ E = c.P^0$ qui a la dimension d'une énergie, et $\vec p = \left( P^1;P^2;P^3 \right)$ . On a $\ P^2=P^i.P_i=m^2.c^2$ , d'où on déduit $\ m^2.c^4 = E^2 - p^2.c^2$ , ce que l'on peut écrire $\ E^2 = p^2.c^2 + m^2.c^4$ . Cette égalité montre que $\ E$ n'a pas de maximum, mais a comme minimum $\ E_0 = mc^2$ , l'énergie au repos ou énergie de masse. De plus, l'approximation aux petites vitesses devant c donnant $\ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 \; ,$ cela montre que $\ E$ tient le rôle de l'énergie totale du corps en relativité restreinte (énergie au repos + énergie cinétique), relativement au référentiel de l'observateur, comme l'indique la présence de la vitesse classique $\ v$ dans l'égalité de $\ E$ .

À partir des définitions et égalités exposées, on peut montrer que $\ E.\vec v = \vec p.c^2$ . Cette égalité indépendante de la masse (bien que jusqu'ici supposée non nulle), montre que si $\ v = c$ alors $E 2 - p 2 . c 2 = 0$ , ce qui assure que la masse du corps est nulle : un corps ayant la vitesse de la lumière est nécessairement de masse nulle.

Cas d'un corps de masse nulle

Si on multiplie la quadri-vitesse d'un corps de masse nulle par sa masse (nulle), on obtient une quadri-impulsion nulle : l'énergie d'un tel corps serait nulle, ainsi que sa quantité de mouvement. Or l'expérience la plus simple (se faire chauffer au soleil) montre que la lumière transporte de l'énergie : une quadri-impulsion non-nulle doit être définissable. Supposons cette quadri-impulsion connue : $\left( \frac{E}{c} ; \vec p\right)$ . Pour que ce quadrivecteur soit cohérent avec le reste de la théorie, il faut que sa pseudo-norme donne l'égalité $E 2 - p 2 . c 2 = m 2 c 4 = 0$ , donc $\ E = p.c$ , ce qui est l'égalité $\ E.v = p.c^2$ pour $\ v = c$ . Un corps de masse nulle doit donc nécessairement être doté de la vitesse de la lumière. Pour ce qui est de la lumière, sa connaissance nécessite un travail plus approfondit la concernant comme onde électromagnétique en physique relativiste, ou comme photon en physique quantique. Les autres particules de masse nulle relèvent de cette dernière théorie.

Quadri-force

La quadri-force $\ F$ est définie par $\ F = \frac{dP}{d\tau}$ . Elle est égale à $\ m.A$ , où $\ A$ est la quadri-accélération définie par $\ A = \frac{dV}{d\tau}$ .

L'égalité $\ P^2=P^i.P_i=m^2.c^2 \;$ amène, par dérivation par $τ$ , $\ P^i.\ F_i = 0 \; :$ les deux quadrivecteurs sont orthogonaux.
Cela permet d'écrire, après quelques manipulations algébriques, $\frac{dE}{d \tau}.\frac{E}{mc^2} = \sum_{k = 1}^3F^k.V^k \; .$ En définissant $\vec p = \left( P^1;P^2;P^3 \right) = \frac{m \vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \; ,$ $\vec f = \frac{d\vec p}{dt} \; ,$ et en utilisant la relation entre $\ dt$ et $\ d\tau$ et celle entre $\ E$ et $\ mc^2 \;,$ on obtient la relation $\frac{dE}{dt} = \vec f.\vec v \;$ qui est interprétée comme étant l'expression relativiste du théorème de l'énergie cinétique.

Tenseurs

Un tenseur d'ordre n de l'espace de Minkowski est une quantité localisée par ses coordonnées $\ (x^0 ; x^1 ; x^2 ; x^3)$ et ayant $\ 4^n$ composantes dépendant linéairement des coordonnées lors d'un changement de référentiel. Cette dépendance linéaire fait qu'une égalité tensorielle établie dans un référentiel particulier est une égalité vraie dans tout référentiel.

Les tenseurs d'ordre 0 sont les constantes telles que la masse du corps, sa charge électrique, la vitesse de lumière, la pseudo-norme d'un quadrivecteur. Les tenseurs d'ordre 1 sont les quadrivecteurs. Les tenseurs d'ordre 2 sont, par exemples, le tenseur métrique, le tenseur électromagnétique.

L'utilisation du tenseur électromagnétique dans l'espace de Minkowski est la méthode la plus synthétique pour exprimer les propriétés du champ électromagnétique en relativité restreinte.

Géométrie

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