Équations de Maxwell - Définition

Aspects historiques

L'apport de Maxwell

Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction...), en les exprimant sous la forme d'un système de quatre équations aux dérivées partielles couplées. Elles furent publiées dans leur forme définitive en 1873 dans l'ouvrage Electricity and Magnetism.

Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le courant de déplacement, dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.

Les héritiers de Maxwell

La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la physique moderne :

• la théorie de la relativité restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique éther ). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant...) a des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité restreinte. Si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la transformation de Lorentz. Einstein a tenté d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, ce qui l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte.

• la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photo-électrique, donna naissance à la théorie quantique en 1900.

Solutions des équations du champ électromagnétique.

Pour simplifier, conformément à la pratique, nous attribuerons ces équations à Maxwell, en les appelant « équations de Maxwell » (EM).

Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide.

Résolvons les EM dans l 'espace éventuellement limité par des conditions qui gardent la linéarité.

Représentons des solutions par des lettres Q, R, ...( ensembles des 6-vecteurs formés des six composantes du champ en tout point de coordonnées x, y, z, t ). Par définition de la linéarité, αQ + βR + ..., où α, β ... sont des constantes réelles est une solution. En conséquence, les solutions sont représentées par les points d'un espace vectoriel réel. Conformément à la définition introduite en acoustique, un mode est un rayon de cet espace. Un système complet de solutions constitue un repère dans cet espace nommé tantôt espace des solutions, tantôt espace des modes. Une solution particulière dans un mode est obtenue en multipliant un champ de ce mode posé comme champ d'amplitude unité, par une constante réelle, l'amplitude.

Avec un système d'unités convenable, l'énergie W(Q) d'une solution Q est l'intégrale étendue à tout l'espace, à un instant donné, de Q ² ; on oublie très souvent que cette équation est non-linéaire, de sorte que si on peut ajouter des champs, les énergies correspondantes ne s'ajoutent pas. En considérant que W(Q) est le carré scalaire de Q, par des processus d'orthogonalisation de Schmitt, on obtient des systèmes complets de solutions orthogonales, ou encore des systèmes complets de modes orthogonaux. Dans ces systèmes, les énergies sont indépendantes.

Planck a posé que l'énergie dans un mode monochromatique de fréquence ν se propageant dans un corps noir à la température T est w = hν/(exp(hν/kT)-1)+K. La valeur erronée de K donnée par Planck a été corrigée par Nernst en 1916 ; la valeur K = hν/2 est facilement retrouvée car la thermodynamique impose que w tende vers kT lorsque T tend vers l'infini. Cette formule définit la température d'un mode. Cependant l'interprétation de cette formule est physiquement délicate car la définition d'une fréquence pure ν suppose une expérience de durée infinie.

Introduction des charges électriques

On sait calculer les champs émis par des charges, par exemple le champ émis par un dipôle électrostatique oscillant. Pour se ramener au problème précédent, on utilise le « truc de Schwarzschild et Fokker ». Le champ émis par une source est nommé « champ retardé » Q^R. Dépouillé de la source, ce champ n'est pas solution des EM. Pour obtenir une solution identique dans le futur, il faut lui ajouter un « champ avancé » Q^A. Par cette définition, Q^A + Q^R est solution des EM. Ainsi, en substituant le champ avancé à la source, on est ramené au problème linéaire d'un champ dans le vide et on peut définir des modes.

Solutions physiques des équations de Maxwell.

Le mathématicien est libre d'ignorer des contingences physiques en faisant, de façon plus ou moins implicite, des hypothèses irréalistes ; ainsi nous avons supposé qu'il existe des systèmes électromagnétiques isolés dans lesquels il est loisible d'introduire quelques champs choisis ; l'établissement de la loi de Planck est un exemple remarquable de cette hypothèse. Montrons que cette hypothèse est physiquement absurde.

Sauf peut-être dans les étoiles à neutrons, la matière est constituée de particules petites par rapport à leurs distances. Ces particules sont les sources des champs électromagnétiques ; le champ émis par une particule décroît avec la distance, il est donc beaucoup plus intense en son voisinage qu'à proximité d'autres particules. Or l'absorption d'un champ est l'addition d'un champ opposé ; la génération d'un tel champ est difficilement et approximativement obtenue pour obtenir une absorption active en acoustique, au moyen de haut parleurs, pour réduire l'intensité d'un bruit. La génération de l'opposé du champ électromagnétique créé par une particule, intense en son voisinage requiert l'addition des champs faibles créés par de nombreuses autres particules, ce qui ne fait que compliquer le problème qui apparaît ainsi insoluble : il subsiste un champ résiduel stochastique loin des sources.

L'existence nécessaire de champs résiduels, connue, semble-t-il depuis longtemps, est exploitée, dans le cadre de l'électromagnétisme, depuis la fin du dix-neuvième siècle par les charlatans qui se reconnaissent sous des noms tels que « radiesthésistes ». En électromagnétisme, les physiciens se sont heurtés à une impossibilité d'évaluer ces « champs résiduels » jusqu'à la détermination de leur valeur moyenne hν/2 par mode monochromatique, à 0K, faite par Planck et Nernst. La théorie de l'émission et de l'absorption due à Einstein (1917) a été complétée par l'interprétation de l'émission spontanée de lumière comme une amplification du champ résiduel. Le sens d'échange d'énergie entre une source monochromatique et le champ dépend de l'interférence du champ émis avec le champ d'origine extérieure préexistant dans le mode, donc simplement des phases relatives.

Le champ résiduel dans un corps noir à 0K, habituellement nommé « champ du point zéro », est souvent présenté comme un champ mystérieux d'origine quantique, présentation absurde puisque sa valeur moyenne a été correctement évaluée par Nernst plus de dix ans avant la naissance de la mécanique quantique ; sans sa connaissance il n'aurait pas été possible de fonder l'électrodynamique quantique en identifiant l'énergie électromagnétique d'un mode à celle d'un oscillateur harmonique quantique.

Il faut se garder de penser que dans un mode il y a deux champs, un champ usuel et un champ du point zéro ; une telle conception serait absurde puisque le champ dans un mode dépend d'un seul paramètre réel, l'amplitude du champ.

Ainsi, une absorption d'un mode ne peut réduire l'amplitude du champ que jusqu'à une limite inférieure qui correspond, en moyenne, à l'énergie hν/2 ; une émission est une amplification d'un champ préexistant ; elle est dite spontanée si le champ préexistant correspond à une énergie voisine de hν/2, et induite si cette énergie est notablement supérieure à hν/2.

Quantification en électrodynamique classique.

Un système physique possède, en général, des minimums d'énergie relatifs. En régime non évolutif (stationnaire), le système, excité par un champ électromagnétique de l'ordre de hν/2 dans chaque mode qu'il est susceptible d'émettre (donc d'absorber), reste au voisinage d'un minimum d'énergie ; pour chaque mode monochromatique, son excitation l'amène à rayonner un champ en quadrature avec le champ incident, ce qui ne produit aucun échange d'énergie permanent, mais introduit un retard, la réfraction. Pour un champ plus intense, en particulier en raison d'une fluctuation favorable du champ, le système peut franchir un col de son diagramme d'énergie et absorber une énergie hν cette absorption peut conduire à un niveau peu stable d'où le système peut évoluer rapidement vers d'autres niveaux, en une cascade plus ou moins radiative qui l'amène à un état stationnaire, stable.

Dans une théorie classique, aucun paradoxe ne peut être admis, en particulier le paradoxe d'Einstein, Podolsky et Rosen n'existe pas : supposons qu'un atome perde une énergie de résonance hν, par exemple par le rayonnement d'un dipôle. Le mode d'émission de ce dipôle n'est pas orthogonal aux modes d'émission (donc d'absorption) d'autres atomes dont l'amplitude peut être accrue ; 0, 1, 2, ... atomes peuvent alors absorber hν, même si, en moyenne, un seul atome est excité ; les champs résiduels jouent le rôle d'un bain thermodynamique.

Quelques erreurs habituelles

Il a été écrit que l'électron d'un atome d'hydrogène suivant une orbite de Bohr émet un champ, donc rayonne de l'énergie et devrait tomber sur le noyau. L'électron émet bien un champ, mais d'énergie très faible en raison de l'interférence du champ émis avec le champ résiduel ; cette énergie tombe à zéro si l'orbite est légèrement corrigée, de sorte que l'énergie de l'état stationnaire subit le décalage de Lamb.

L'étude de l'amorçage d'un laser semble indiquer que le champ du point zéro induit une émission deux fois plus intense qu'un champ d'intensité plus grande. Pour tenir compte de ce résultat, on peut introduire une « radiation de réaction », ad hoc. La véritable explication est très simple : un atome est excité par un champ dans le mode qu'il peut émettre, dit sphérique ; au démarrage du laser, il existe dans ce mode une amplitude correspondant à hν/2 ; le laser fonctionne sur un mode d'onde plane dont il faut prendre la composante sphérique pour exciter l'atome, ce qui divise l'énergie par deux.

Il n'existe pas de système électromagnétique isolé ; oublier que le champ minimum est le champ du point zéro conduit à des erreurs lorsqu'on détecte des champs faibles.