Équation polynomiale - Définition

Résolution explicite des équations numériques

Démarche

La résolution explicite d’une équation réelle ou complexe du premier degré est immédiate. Résoudre une équation de degré supérieur n revient à factoriser le polynôme associé, c’est-à-dire à réécrire (E) sous la forme

,

où apparaissent naturellement les solutions . On cherche donc à exprimer les z_i en fonction des a_i.

Cette démarche s’applique plus généralement si coefficients et solutions prennent leurs valeurs dans un anneau intègre.

Second degré

Pour résoudre une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0 on calcule son discriminant Δ défini par Δ = b² − 4ac.

Si Δ > 0, alors l’équation a deux racines réelles distinctes x₁ et x₂, telles que :

.

Si Δ = 0, l’équation a alors une racine réelle double x₀, telle que :

.

Si Δ < 0, il n’existe aucune racine réelle au trinôme. Cependant il possède 2 racines complexes conjuguées z₁ et . Si Δ = (iδ)², on peut écrire :

Équations se ramenant au second degré

Certaines équations de degré trois ou quatre se ramènent facilement à des équations du second degré. Leur résolution nécessite de connaître la formule de résolution des équations du second degré et les nombres complexes.

Premier exemple : racine(s) évidente(s)

Lorsqu’une équation de degré n admet une solution évidente, on peut factoriser le polynôme associé en un facteur du premier degré et un polynôme de degré n − 1. La résolution de l’équation se ramène donc à celle d’une équation de degré n − 1.

On se propose d’étudier pour quelles valeurs de x la fonction réelle , polynomiale de degré 3, s’annule.

On remarque tout d’abord que f( − 1) = 0. Donc -1 est une racine du polynôme.

On cherche alors (α,β,γ) tels que

.

On a :

Or deux polynômes sont égaux s’ils sont de même degré et si leurs coefficients respectifs sont égaux deux à deux. Donc :

et

Ainsi,

,

et résoudre f(x) = 0 revient à résoudre x + 1 = 0, puisque x² + 1 > 0. L’unique solution réelle de l’équation est − 1.

Deuxième exemple : équations bicarrées

On se propose de rechercher les racines du polynôme bicarré

(est dit bicarré tout polynôme de la forme ). Pour cela, nous allons réaliser un changement d’inconnue.

Posons X = x², on a alors f(x) = 7X² + 4X − 3. L’équation du second degré obtenue a pour discriminant Δ = 4² − 4(7)( − 3) = 16 + 84 = 100. Ses solutions sont donc

Ces solutions sont exactement les carrés des solutions de l’équation de départ

.

L’ensemble des racines de f est donc

.

Troisième exemple, où x ↦ ax + b√x + c

L’objectif est ici d’étudier les solutions de l’équation f(x) = 0, avec . Cela illustre que certaines équations non polynomiales se ramènent, elles aussi, à des équations polynomiales du second degré.

On pose  ; on peut donc écrire f(x) = X² − 4X − 5. On résout alors l’équation f(x) = 0 d’inconnue X : X² − 4X − 5 = 0 équivaut à (X − 2)² − 9 = 0. Les solutions sont donc X₁ = 5 et X₂ = − 1. La solution X₂ = − 1 doit être rejetée car le changement de variable impose .

La seule solution possible de f(x) = 0 est donc :

Troisième et quatrième degré

Pour résoudre une équation du troisième ou du quatrième degré, on peut tenter de ramener l’équation à une multiplication d’au moins deux polynômes plus simples (voir ci-dessus).

Jérôme Cardan a résolu certaines équations de degré 3 et a exprimé les racines sous la forme de radicaux. Leonhard Euler a résolu ces équations d’une manière générale en commençant par rendre nul le terme de degré inférieur à celui du terme dominant en cherchant sans succès une méthode générale s’appliquant ensuite aux équations de degré supérieur.

Pour un exposé détaillé de certaines méthodes de résolution voir :

• Méthode de Tschirnhaus (Méthode générale qui peut ne pas aboutir).
• Méthode de Bézout (Méthode générale qui peut ne pas aboutir).
• Méthode de Cardan (Résolution des équations de degré 3).
• Méthode de Sotta (Résolution des équations de degré 3 et généralisation à un degré quelconque sous certaines conditions).
• Méthode de Ferrari (Résolution des équations de degré 4).
• Méthode d'Euler (Résolution des équations de degré 4).
• Méthode de Descartes (Résolution des équations de degré 2 et 4).

Équations de degré supérieur

Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont démontré indépendamment l’un de l’autre que d’une manière générale une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux (voir paragraphe Théorie ci-dessus). Un exemple d'équation non résoluble par radicaux est donné dans l'article Groupe alterné. Certaines équations particulières le sont, comme par exemple celles associées aux polynômes cyclotomiques d'indice 5 ou 17.

Charles Hermite a en revanche démontré que les équations polynomiales de degré 5 sont résolubles à l’aide des fonctions elliptiques.

Voir en particulier :

• Méthode d'Hermite