Équation du temps - Définition

Introduction

L’équation du temps est un paramètre utilisé en astronomie pour rendre compte du mouvement apparent relatif du soleil par rapport au soleil moyen, lesquels peuvent différer l'un par rapport à l'autre de plus ou moins un quart d'heure environ. D'une année sur l'autre, la courbe d'évolution annuelle de ce paramètre se répète quasiment à l'identique. La connaissance de l'équation du temps donne le moyen de corriger à tout instant l'heure donnée par un cadran solaire pour trouver l'heure légale, d'écoulement uniforme. Autrefois, elle permettait de contrôler la marche d'une horloge, à écoulement théoriquement uniforme, par rapport aux indications d'un cadran solaire, notamment au moment du midi vrai, alors important socialement, moment repéré sur un cadran ou une méridienne.

Résultant des caractéristiques du mouvement de la Terre autour du Soleil, l'équation du temps peut se calculer très précisément. On en trouve des tables détaillées dans les éphémérides astronomiques.

Remarque sur le mot « équation » : en astronomie ancienne, le terme « équation » désignait une correction ajoutée algébriquement à une valeur moyenne pour obtenir une valeur vraie. C'est une telle acception qui a survécu dans l'expression « équation du temps », et qui se retrouve aussi dans « équation du centre » ou « équation des équinoxes ». Il s'agit bien d'un paramètre, et non d'une équation au sens habituel du terme (égalité avec inconnues, comme c'est le cas d'une équation polynomiale ou d'une équation différentielle).

Définition

Par convention, l’équation du temps, à un instant donné, est la différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai.

• Le temps solaire moyen est basé sur le soleil moyen, défini comme un objet qui, tout au long de l'année, se déplacerait sur l'équateur à une vitesse constante, telle que la durée du jour solaire moyen soit de 24 heures exactement.
• Le temps solaire ou temps vrai est une mesure du temps basée sur le soleil vrai, tel que donné par un cadran solaire. En particulier, le midi solaire correspond à l'instant de la journée où le soleil atteint son point le plus élevé dans le ciel.

Une valeur positive de l'équation du temps indique que le soleil vrai est en retard sur le soleil moyen, c'est-à-dire plus à l'est, et une valeur négative qu'il est en avance, c'est-à-dire plus à l'ouest. Par exemple, lorsque l'équation du temps vaut + 8 minutes, cela signifie qu'il est 12 h 08 du temps solaire moyen lorsque le cadran solaire indique midi vrai.

C'est du moins la convention de signe utilisée en France, où l’équation du temps est l'équation du temps vrai, c'est-à-dire ce qu'il faut ajouter au temps vrai pour obtenir le temps moyen. Dans certains pays, tels que le Royaume-Uni, les États-Unis ou la Belgique, l'équation du temps est souvent définie avec la convention de signe inverse : c'est l'équation du temps moyen, c'est-à-dire la quantité qu'il faut ajouter au temps moyen pour obtenir le temps vrai. Les deux variables, « équation du temps vrai » et « équation du temps moyen » ont des valeurs opposées.

Autre forme de la définition : l’équation du temps, à chaque instant, est la différence entre l'ascension droite du soleil moyen et celle du soleil vrai.

Analyse intuitive de l'équation du temps

Influence de l'ellipticité de l'orbite de la terre

Les étapes du retour du midi vrai d'un jour à l'autre, c'est-à-dire le retour d'un méridien donné face au soleil, peuvent se décomposer comme suit :

• une rotation complète (360°) de la terre sur elle-même pour passer de 1 à 2,
• ce faisant la Terre a avancé sur son orbite autour du Soleil, et de ce fait elle montre ce même méridien non pas face au Soleil mais face aux étoiles lointaines, point 2,
• une rotation complémentaire de la Terre sur elle-même est alors nécessaire pour que le méridien soit à nouveau face au Soleil, point 3. Cette rotation complémentaire est proportionnelle à la vitesse de la Terre le long de son orbite. Si la vitesse est variable, alors l'angle complémentaire de rotation est variable.

La seconde loi de Kepler (loi des aires) indique que la vitesse de la Terre varie le long de cette orbite ;

• elle s'accroît depuis son aphélie pour devenir maximale (30,287 km/s) à son périhélie (aux alentours du 3 janvier),
• puis ensuite décroît pour devenir minimale (29,291 km/s) à son aphélie (une demi-année plus tard) ;
• l'accélération est maximale à mi-chemin (aux alentours de début avril) entre l'aphélie et le périhélie,
• la décélération est maximale à mi-chemin (aux alentours de début octobre) entre le périhélie et l'aphélie,
• accélération et décélération sont nulles en ces deux points (périhélie et l'aphélie),

• pendant la phase d'accélération, la rotation complémentaire est donc à chaque fois plus importante pour compenser l'avance plus importante sur l'orbite, ce qui entraîne un retard à chaque fois plus important du retour du midi vrai,
• et inversement pendant la phase de décélération,
• le retard est maximal lorsque l'accélération est maximale ; il est minimal lorsque la décélération est maximale.

En première approximation, ce retard varie sinusoïdalement avec une période d'une année, s'annule au périhélie et à l'aphélie, et est extrémal entre ces deux points (courbe bleue de la figure équation du temps). L'expression de ce retard dû à l'ellipticité, exprimé en minutes, est le suivant :

ΔT_C(d) = 7,53.cos(B) + 1,5.sin(B) = 7,678.sin(B + 1,374)

Voir la définition de B(d) ci-dessous.

Influence de l'obliquité de la Terre

Même si l'orbite de la terre était circulaire, le mouvement apparent du soleil le long de l'équateur céleste ne serait pas uniforme, par suite de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre par rapport à son plan orbital.

L'introduction du paragraphe précédent décompose en 3 étapes le retour d'un méridien donné face au soleil ; la figure ci-contre montre ces mêmes 3 étapes mais en adoptant un point de vue géocentrique, c'est-à-dire la terre étant fixe au centre de la figure et le soleil orbitant autour de la terre :

• une rotation complète (360°) de la terre sur elle-même pour passer de 1 à 2,
• ce faisant le soleil a avancé sur son orbite autour de la terre, et de ce fait la terre montre ce même méridien non pas face au soleil mais face aux étoiles lointaines, point 2,
• une rotation complémentaire de la terre sur elle-même est alors nécessaire pour que le méridien soit à nouveau face au soleil, point 3

Le soleil a avancé de façon régulière sur son orbite située dans le plan écliptique, alors que la rotation complémentaire de la terre sur elle-même pour se remettre face au soleil est mesurée dans le plan de l'équateur céleste. Il faut donc rapporter le mouvement du soleil dans ce plan de l'équateur céleste pour apprécier le retard ou l'avance du temps solaire par rapport à une horloge régulière. C'est cette opération, appelée réduction à l’équateur, qui explique que le mouvement apparent du soleil le long de l'équateur céleste n'est pas uniforme.

Comme indiqué en début de ce paragraphe, supposons une orbite circulaire. Le module du vecteur vitesse du soleil est donc constant le long de son orbite. Les 2 composantes de ce vecteur sont l'une portée par l'axe vernal, l'autre portée par un vecteur orthogonal à cet axe vernal et situé dans le plan écliptique. La première composante se projette sans modification sur le plan de l'équateur céleste, la seconde se projette avec un facteur de réduction égal au cosinus de l'obliquité. De façon intuitive, la somme de ces 2 projections sur le plan de l'équateur céleste sera minimale sur l'axe vernal et maximale sur la quadrature de ce même axe. La variation de vitesse sera donc nulle en ces 4 points, et de même pour l'avance ou le retard.

En première approximation, il s'agit d'une sinusoïde de période une demi-année (courbe verte de la figure Équation du temps, cf. plus haut) qui s'annule quatre fois sur une année, en particulier à l'équinoxe de printemps. L'expression de ce retard dû à l'obliquité, exprimé en minutes, est le suivant :

ΔT_R(d) = − 9,87.sin(2B)

Voir la définition de B(d) ci-dessous.

Version simplifiée de l'équation temps

La somme des 2 formules précédentes fournit une première approximation de l'équation du temps :

ΔT(d) = ΔT_C(d) + ΔT_R(d),

c'est-à-dire :

ΔT(d) = 7,678.sin(B + 1,374) − 9,87sin(2B)

avec : , exprimé en radians, dépend du numéro du jour de l'année :

d = 1 le 1^er janvier ; d = 81 à l'équinoxe de printemps.