Équation du second degré - Définition

Propriétés

Forme réduite

Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :

Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités remarquables :

En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : x² + x + 1 = 0. Le discriminant est égal à -3, l'équation n'admet pas de racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom.

Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :

Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à x₁ et x₂.

Relations entre coefficients et racines

Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles soient distinctes ou doubles, on dispose de deux manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on obtient si x₁ et x₂ sont les deux racines:

Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :

Cela permet d'obtenir des relations entre les coefficients de l'équation et les solutions de l'équation.

Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est l'objet de l'article détaillé.

Discriminant réduit

Parfois, les coefficients a, b et c sont des nombres entiers et b est pair. Dans ce cas, un facteur 2 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. Si on définit b' comme l'entier vérifiant l'égalité b = 2.b' , on simplifie les calculs :

Le discriminant réduit est égal à quatre fois le discriminant, il est de même signe que le discriminant. En conséquence, si le discriminant réduit est strictement positif, il existe deux solutions distinctes, s'il est nul les deux solutions sont confondues et s'il est strictement négatif aucune solution réelle n'existe. Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines x₁ et x₂ s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités :

Le calcul présenté ici est vrai, indépendamment du fait que a, b et c soient entiers. Si l'expression de b' est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant.

Considérons l'équation suivante :

Le discriminant réduit est un peu plus simple à calculer que le discriminant, il est égal à 9 - (√5)² ou encore à 4. On trouve, avec les formules précédentes :

Gain de précision

Lorsque Δ > 0, le calcul de où ε est du signe de b, conduit à calculer la différence des deux nombres et | b | . Si ce calcul est fait numériquement, par une méthode de virgule flottante sur un ordinateur par exemple, cela entraîne une perte de précision, surtout lorsque est très proche de | b | , c'est-à-dire quand 4ac est petit par rapport à b². On parle alors d'algorithme de calcul numériquement instable.

Il est alors préférable de calculer la racine , proche de -b/a, et d'utiliser la propriété sur le produit des racines pour déterminer l'autre racine à l'aide de l'égalité .

Ce nouvel algorithme est dit numériquement stable, car aucune erreur n'est amplifiée par une des étapes du calcul.