Entier quadratique - Définition

• Le plus petit sous-corps contenant le nombre quadratique a + b.√d est K[d] :

Comme cet ensemble est stable par addition et soustraction et contient 1, il contient tous les entiers. Comme il est stable par division, il contient tous les rationnels. Par hypothèse il contient le nombre quadratique a + b.√d, en additionnant -a, on remarque qu'il contient b.√d et en divisant par b, il contient aussi √d. Il contient donc 1 et √d, et nécessairement tous les nombres de la forme x + y.√d, où x et y décrivent l'ensemble des rationnels.

Réciproquement, l'ensemble des nombres de la forme x + y.√d contient 1 et a + b.√d. Il est stable pour les quatre opérations. La stabilité de l'addition et de la soustraction est évidente, celle de la multiplication provient de la propriété suivante :

Il faut encore vérifier que tout élément non nul admet bien un inverse dans cet ensemble. On remarque tout d'abord que x² - d.y² ne peut être nul. S'il l'était alors d serait un quotient de carrés parfaits or d est un entier sans facteur carré. Il suffit alors de remarquer que si x et y est un couple de rationnels non tous les deux nuls :

• Soit un corps commutatif K contenant Q mais non restreint à Q qui ne contiennent que des nombres quadratiques. Il existe un entier d, sans facteur carré, tel que K soit isomorphe à Q[√d] :

La théorie de Galois permet de résoudre cette question très simplement en faisant appel au théorème de l'élément primitif. Il suffit de considérer n'importe qu'elle extension finie de Q dans K, elle admet un élément primitif, elle est donc de degré 2. Le corps K n'admet que des sous-corps de degré 2 sur Q, il est donc de degré 2.

Il est néanmoins possible de démontrer sans outil puissant ce petit résultat. Nous savons a priori quatre choses sur le corps K : qu'il est commutatif, de caractéristique nulle et que tout élément est racine d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 à coefficients dans son corps caractéristique et qu'il contient un élément qui n'est pas dans le corps caractéristique.

La caractéristique d'un corps est égal au plus petit entier n, tel que 1, additionné n fois à lui-même soit égal à 0. Si un tel n n'existe pas, le corps est qualifié de caractéristique nulle. Le corps caractéristique est le plus petit sous-corps de K. Il contient nécessairement 1 et donc le sous corps engendré par 1. Si le corps est de caractéristique nulle, il contient une copie de Z et nécessairement une copie de Q. On identifie en général cette copie avec Q ce que nous faisons ici.

Dans le cas présent, il existe un élément α qui n'est pas dans Q, cet élément est racine d'un polynôme de degré 2, à coefficients dans Q et irréductible. Il est donc de la forme a + √d.b où a et b sont des rationnels et √d un nombre tel que son carré est égal à d, un élément de Q. La même approche que celle utilisée précédemment montre que d peut être choisi entier sans facteur carré. Soit α₁ un élément quelconque de K, l'objectif est de montrer qu'il existe deux rationnels a₁ et b₁ tel que α₁ = a₁ + b₁.√d.

Si α₁ est rationnel l'objectif est immédiatement atteint. Supposons qu'il ne le soit pas. Le même raisonnement que précédemment montre que α₁ = a₁ + b₁.√f où f est encore un entier sans facteur carré. Il suffit donc de montrer que f est égal à d. Pour cela remarquons que √d et √f sont deux éléments de K leur somme est encore élément de K, donc solution d'une équation du second degré à coefficients dans Q.

Soit P[X] = X² + hX + k un polynôme à coefficients dans Q et ayant √d + √f comme racine. On dispose de l'égalité suivante :

On remarque que h + 2√d ne peut être nul car √d n'est pas rationnel alors que h l'est. On en déduit que √f est le quotient de deux éléments de Q[√d], ce qui montre qu'il est élément de Q[√d] et :

Ceci montre qu'un rationnel multiplié par √d est un rationnel. Le seul rationnel ayant cette propriété est 0, et soit h₁ soit k₁ est nul. Si k₁ est nul, √f est rationnel, ce qui est contraire aux hypothèses, donc h₁ est nul et √f = k₁√d, et f est égal à k₁².d. Or f est un entier sans facteur carré, donc k₁ est égal à 1 et f à d.

Il est temps de conclure. K contient Q[√d] car c'est un corps contenant √d. Réciproquement tout élément de K est contenu dans Q[√d] d'après l'analyse précédente. Les deux structures sont bien égales.

• Supposons que d ne soit pas congru à 1 modulo 4 :

Soit a et b deux entiers relatifs et v = a + b.√d, alors v est racine du polynôme P[X] suivant et est donc algébrique :

Réciproquement, supposons w algébrique, il existe deux rationnels α et β tel que w = α + β.√d et si le polynôme minimal de w est noté Q[X] alors :

les nombres 2.α et 4(α² - d.β²) sont des entiers relatifs et 4.d.β² l'est aussi. Comme d ne contient aucun facteur carré, 2.β est un entier relatif.

Si d est congru à 2 modulo 4, alors 2.d.β² est élément de Z et 2.α² aussi, comme 2.α est un entier relatif, α l'est aussi. On en déduit que d.β² est un entier relatif, comme d n'est pas un multiple de 4, et que 2.β est un entier relatif, β l'est aussi.

Si d est congru à 3 modulo 4, (2.α)² - d.(2.β)²) est un multiple de 4, si (2.β) est impair, alors (2.β)² est congru à 1 modulo 4, d.(2.β)² est congru à 3 modulo 4 et (2.α)² - d.(2.β)²) est congru à 2 modulo 4, ce qui est impossible, c'est un multiple de quatre. On en déduit que 2.β est pair et β est entier. Ceci montre que d.(2.β)² est un multiple de 4, et donc (2.α)² aussi, on en déduit que α est entier.

• Supposons que d soit congru à 1 modulo 4 :

Soit a et b deux entiers relatifs et v = a + b(1 + √d)/2, alors v est racine du polynôme P[X] suivant et est donc entier algébrique car d - 1 est un multiple de quatre :

Réciproquement, supposons w algébrique, il existe deux rationnels α et β tel que w = α + β.(1 + √d)/2 et si le polynôme minimal de w est noté Q[X] alors :

On en déduit que (2α + β)² - d.β² est un multiple de 4, comme 2α + β est un entier relatif, d.β² l'est aussi. Comme d ne contient aucun facteur carré, β est un entier relatif. Comme (2α + β)² - d.β² est un multiple de quatre et que β est un entier relatif, 4(α² + α.β) est un multiple de 4 (car d - 1 est un multiple de quatre) et (2α)² + 2.(2.α).β est un multiple de 4. Comme 2α + β et β sont des entiers relatifs, 2α l'est aussi. Si 2α est impair, alors (2α)² + 2.(2.α).β est impair, or cette valeur est un multiple de 4, donc α est un entier relatif, ce qui termine la démonstration.

• La fermeture intégrale de Z dans un corps quadratique est un anneau :

L'ensemble considéré est manifestement un groupe abélien, il suffit donc de montrer la stabilité pour la multiplication, les autres propriétés se déduisent du fait que la fermeture intégrale est une partie d'un corps. Soit d un entier relatif sans facteur carré, les deux égalités suivantes montrent que dans tous les cas, la fermeture est stable par multiplication :

• Le corps des fractions de l'anneau des entiers d'un corps quadratique Q[√d] est isomorphe à Q[√d].

Le plus petit corps contenant les entiers quadratiques de Q[√d] contient 1 et √d, il contient nécessairement Q[√d]. Réciproquement Q[√d] contient tous les éléments de l'anneau des entiers, ce qui montre que Q[√d] est bien le plus petit corps contenant la fermeture intégrale. C'est donc, à un isomorphisme près, son corps des fractions.

• Soit A un anneau unitaire contenant strictement Z et formé uniquement d'entiers quadratiques. Il existe un entier f, non carré parfait, tel que A est égal à Z[ω] ou ω est égal soit à √f soit, si f est congru à 1 modulo 4, à (1 + √f) / 2.

On utilise pour cela le corps des fractions de A. Les démonstrations précédentes montrent que Q.A, c'est-à-dire l'ensemble des produits d'un rationnel par un élément de A est un corps, contenu dans son corps des fractions. Comme le corps des fractions est le plus petit contenant l'anneau, il est égal à Q.A. Ce qui montre l'existence d'un entier quadratique ω, de la forme de celle construite précédemment, tel que le corps des fractions de A soit égal à Q[ω]. Comme A est composé d'entiers quadratiques, A est un sous anneau de Z[ω] car Z[ω] contient tous les entiers quadratiques du corps. Il suffit de caractériser les sous-anneaux unitaires de Z[ω] pour démontrer cette proposition.

Supposons dans un premier temps qu'il existe un entier d sans facteur carré et non congru à 1 modulo 4 tel que ω soit égal à √d et considérons l'ensemble E de tous les entiers strictement positifs n tel que n.√d soit dans A. Montrons que cet ensemble est non vide, A n'est pas réduit à Z, il contient un élément de Z[ω] qui n'est pas un entier relatif. Soit a + b.√d un tel entier, avec a et b inclus dans Z et b non nul. Comme tous les entiers de A sont éléments de Z[ω], un élément de A possède nécessairement une forme de cette nature. Comme Z est inclus dans A, -a est élément de A et -a + a + b.√d = b.√d est aussi élément de A. Et |b| est élément de E. E est un ensemble non vide d'entiers strictement positifs, il possède donc un élément minimal m.

On définit f comme égal à m².d. On remarque que √f est un élément de A puisque soit m√d soit -m√d l'est (si -m√d, alors m√d l'est aussi par stabilité de la soustraction). Par conséquence Z[√f] est inclus dans A. Montrons maintenant l'inclusion inverse. Soit a + b.√d un élément quelconque de Z, une fois encore b.√d est élément de A. considérons la division euclidienne de |b| par m, |b| = p.m + r. Comme |b|.√d et p.m.√d sont des éléments de A, par stabilité r.√d l'est aussi. Or r est strictement plus petit que m, le fait que r.√d soit élément de A montre que r est nul et b est un multiple de m. En conclusion a + b.√d est bien un élément de Z[√f]. On a montré que Z[√f] contient A et est contenu dans A, ils sont donc égaux.

Supposons maintenant que ω = 1/2(1 + √d) ou d est congru à 1 modulo 4. Le raisonnement précédent s'applique encore et il existe un entier strictement positif m tel que A soit égal à Z[m/2(1 + √d)]. Si m est paire, A est engengré par la somme d'un entier et de m√d que l'on note toujours f, ce qui montre que A est égal à Z[√f]. Supposons que m soit impair, alors A est engendré par (m - 1)/2 + 1/2(1 + √f) et donc par 1/2(1 + √f). Il ne reste plus qu'à monter que f est congru à 1 modulo 4. Dans ce dernier cas, m est impair, le carré de tout nombre impair est congru à 1 modulo 4, d l'est aussi, donc f égal à m².d est congru à 1 modulo 4, ce qui termine la démonstration.

• l'intersection d'un anneau unitaire d'entiers quadratiques et de Q est égale à Z :

Dire que l'anneau est unitaire, signifie qu'il contient élément 1, par stabilité de l'addition et de la soustraction, il contient Z, réciproquement soit a un élément de l'intersection de l'anneau et de Q, comme il est élément de l'anneau, il est racine d'un polynôme de coefficient de monôme dominant égal à 1 et à coefficients dans Z. Ce polynôme admet pour racine a et son congugé est encore égal à a qui est donc une racine double, ont en déduit que son polynôme minimal est égal à X² - 2a.X + a². Ce qui montre que 2.a et a² sont des éléments de Z. Dire que 2.a est élément de Z revient à dire qu'il existe un entier b tel que a est égal à b/2. Dire que b²/4 est entier signifie que b est un multiple de 2, ce qui montre que a est entier.