Entier naturel - Définition

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Arithmétique

Représentation des opérations

En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition est représentée par la réunion de deux collections, tandis que la soustraction revient à retirer une collection d'une autre. Cette représentation montre bien l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels) un nombre à un autre strictement plus petit.

La multiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage d'un rectangle dont deux côtés adjacents représentent chacun l'un des facteurs.

La division euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre (appelé diviseur et nécessairement non nul) est illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes représente alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète représente le reste, nécessairement inférieur strictement au diviseur.

Multiple et diviseur

Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

Nombre premier

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Désignation

Énonciation

La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques méthodes simples.

Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers de un à dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de deux.

L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dans « dix-sept ») ou de la multiplication (comme dans « quatre-vingts ») des entiers correspondants. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la division ou la protraction.

Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certains puissances d'une base particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de la base vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million.

Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations par accolement : « mille milliards de milliards… »

Écriture chiffrée

Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations, elle est aujourd'hui presque partout fondée sur un même système de notation décimale positionnelle, même si la graphie des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes d'un pays à l'autre.

Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix, de façon à ce que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc représenté par l'un des dix chiffres arabes de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se fait alors en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de dix correspondantes.

L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des algorithmes de calcul pour les quatre opérations arithmétiques élémentaires.

Codage

La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux ou d'autres symboles concrets, d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).

La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et ordinateurs.

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