Effet Doppler-Fizeau - Définition

Formulation mathématique

Effet Doppler-Fizeau galiléen

Supposons que l’émetteur et le récepteur se déplacent sur une droite. Il y a trois référentiels galiléens à considérer :

1. Le référentiel du milieu dans lequel se propage l’onde (par exemple l’atmosphère pour une onde sonore). On note c la célérité de l’onde dans ce référentiel (ce n’est pas forcément la vitesse de la lumière).
2. Le référentiel lié à l’émetteur (source) : appelons v_em la vitesse algébrique de l’émetteur (source) par rapport au référentiel (1).
3. Le référentiel lié au récepteur : appelons v_rec la vitesse du récepteur par rapport au référentiel (1).

Par convention, les vitesses seront comptées comme positives dans la direction de propagation du signal (de l’émetteur vers le récepteur). Ainsi une vitesse v_em positive et v_rec négative correspondra à un rapprochement entre source et récepteur tandis qu’une vitesse v_em négative et v_rec positive correspondra à un éloignement.

Si ƒ_em est la fréquence de l’onde dans le référentiel de la source, alors le récepteur va recevoir une onde de fréquence ƒ_rec

En effet, supposons que la source émette des bips à une fréquence ƒ_em et que le mouvement relatif entre émetteur et récepteur se fasse selon la droite les joignant. Lorsque le deuxième bip est produit, le premier bip a parcouru une distance

d₀ = c·T_em

dans le référentiel (1), avec T_em = 1/ƒ_em. La source s’étant déplacée de v_em·T_em pendant le temps T_em, la distance séparant deux bips est

d₁ = (c - v_em)·T_em.

Calculons le temps T_rec séparant la détection des deux bips par le récepteur. Ce dernier reçoit le premier bip. Au bout de ce temps T_rec, il a parcouru la distance v_rec·T_rec au moment où il reçoit le deuxième bip. Durant ce laps de temps, T_rec le deuxième bip aura donc parcouru la distance

d₂ = d₁ + v_rec·T_rec = c·T_rec,

ce qui donne bien :

Si seule la source est mobile par rapport au référentiel (v_rec = 0), on a alors :

et si seul le récepteur est mobile par rapport au référentiel (v_em = 0), on a :

Les deux situations ne sont pas symétriques : en effet, si le récepteur « fuit » l’émetteur à une vitesse supérieure à c, il ne recevra jamais d’onde, alors que si l’émetteur fuit un récepteur immobile, celui-ci recevra toujours une onde. On ne peut pas inverser le rôle de l’émetteur et du récepteur. Dans le cas classique, il y a dissymétrie dans le décalage fréquentiel selon que l’émetteur ou le récepteur est en mouvement (les fréquences reçues diffèrent par les termes du second ordre pour une même fréquence d’émission). Cette dissymétrie est due à la présence du milieu dans lequel se propagent les ondes, elle est justifiée pour les ondes sonores.

Pour les ondes électromagnétiques, la propagation pouvant se faire dans le vide, cette dissymétrie est infondée. On doit alors traiter le problème dans le cadre de la relativité restreinte et on s’attend alors à trouver un effet parfaitement symétrique puisqu’on ne peut pas distinguer entre vitesse de l’émetteur et vitesse du récepteur, seule comptant la vitesse relative entre les deux. C’est ce que nous allons montrer.

Dans le cas d’ondes électromagnétiques, la vitesse de l’onde est la vitesse de la lumière qui dépend de la nature du milieu (et notamment de son indice de réfraction), mais pas du référentiel.

Calcul relativiste rapide

Avant de donner la formule de l’effet Doppler relativiste dans le cas général, voici d’abord une démonstration simplifiée rapide de la formule relativiste dans le cas où tous les mouvements se font le long d’un même axe, celui le long duquel se propage le signal. Le principe du calcul consiste à tenir compte de l’effet de dilatation du temps qui accompagne le passage d’un repère au repos à un repère en mouvement.

Changeons de notation avant de passer à une symétrisation du problème. La vitesse entre l’émetteur et le récepteur sera notée v et sera comptée comme positive si elle correspond à une vitesse d’éloignement. C’est la convention généralement adoptée en astronomie pour la vitesse radiale. Par conséquent si la source se déplace seule, sa vitesse des formules antérieures est v_em=-v et si c’est le récepteur qui se déplace seul, sa vitesse est v_rec=+v.

• Considérons d’abord que c’est la source qui se déplace. Si on la calculait par la formule classique précédente, la fréquence du signal à la réception serait

  avec  

Si on tient compte maintenant du facteur de dilatation du temps de la relativité restreinte

qui augmente les durées mesurées par le récepteur fixe, la fréquence observée diminuera par le facteur inverse [1 − (v² / c²)]^{1 / 2} de sorte que la fréquence f_rec devient

• Considérons maintenant que c’est le récepteur qui se déplace. Avec la formule galiléenne nous aurions

Comme précédemment, il faut tenir compte du facteur relativiste γ . Ici, c’est le récepteur qui est en mouvement et la source qui est fixe. C’est l’expression de f_em = f_rec / (1 − β) qui doit être multipliée par [1 − (v² / c²)]^{1 / 2}. Nous obtenons donc la même formule que précédemment :

qui montre que l’effet Doppler est parfaitement symétrique et ne dépend que de la vitesse relative entre l’émetteur et le récepteur.

Cette symétrie a été exploitée par le physicien Hermann Bondi à des fins pédagogiques, dans sa méthode de calcul par le facteur k (Bondi's k-calculus), graphiquement représentée par le diagramme de Bondi.

L’effet Doppler relativiste combine deux effets, l’effet galiléen et l’effet de ralentissement des horloges. Le premier fait intervenir la vitesse radiale entre source et observateur, le second la valeur de la vitesse totale.

Si l’on considère le cas plus classique d’une onde électromagnétique se déplaçant dans R le long des x avec un champ électrique selon l’axe des y

et un champ magnétique

et si l’on considère un référentiel R’ mu d’une vitesse v par rapport à R comme on a :

ct = γct' + βγx'

x = γx' + βγct'

alors:

  et  

d’où

kx − ωt = kγ(1 − β) x' − ωγ(1 − β)t'

On a un nouveau vecteur d’onde  k' = kγ(1 − β) et une nouvelle pulsation  ω' = ωγ(1 − β)

Le tenseur de Maxwell permet de trouver les transformation de E₀ En l’occurrence

  de même pour B

La nouvelle onde dans R’

On retrouve la proportionnalité entre l’augmentation de l’énergie et l’augmentation de la fréquence en intégrant la densité d’énergie sur un volume V' = γ(1 + β)V c’est-à-dire si U’ est l’énergie de l’onde dans R’ et U dans R alors

Effet Doppler-Fizeau relativiste

Traitons maintenant le problème de façon complète.

En relativité restreinte, un photon est entièrement caractérisé par son quadrivecteur énergie-impulsion P. Cette quantité est définie indépendamment de tout système de coordonnées mais il est utile lorsqu’on veut faire des mesures ou des calculs algébriques de préciser la valeur des composantes de ce quadrivecteur. Si, dans un système de coordonnées, la fréquence du photon est ν et le vecteur unitaire le long du trajet du photon est le vecteur à 3 dimensions , le quadrivecteur P est

où h est la constante de Planck.

Considérons une étoile dont nous recevons les photons sur Terre. Choisissons un repère terrestre Oxyz tel que l’axe Ox soit orienté le long de la vitesse v de l’étoile. La relativité restreinte nous apprend alors que les composantes d’un quadrivecteur P dans le repère en mouvement de l’étoile se transforment dans les composantes dans le repère terrestre selon les formules de Lorentz suivantes

avec toujours

  et  

En utilisant les notations des paragraphes précédents, les fréquences du photon sont dans le repère terrestre et dans le repère de l’étoile émettrice. Les équations de Lorentz donnent alors (les composantes du quadrivecteur sont proportionnelles à la fréquence et le facteur commun de proportionnalité h/c disparaît)

où θ' est l’angle que fait le photon avec l’axe Ox dans le repère de l’étoile. Si la quantité β'_rad correspond à la composante radiale de la vitesse relative entre émetteur et récepteur dans le repère de l’étoile, c’est-à-dire

on peut écrire la formule Doppler relativiste sous la forme

qui redonne les formules présentées quand on prend cosθ' = − 1.

L’effet relativiste est en quelque sorte la combinaison de l’ dû à la vitesse radiale et du phénomène de ralentissement des horloges inhérent à la relativité restreinte.

Trouvons l’angle θ que fait le rayon lumineux avec l’axe Ox dans le repère terrestre. La différence entre les directions du photon dans le repère terrestre et le repère de l’étoile constitue le phénomène d’aberration de la lumière. D’après les équations de Lorentz écrites ci-dessus, on a :

Ces formules donnent une description relativiste complète de l’effet Doppler-Fizeau.

Il y a une subtilité à saisir dans le phénomène d’aberration. Si le photon se propage radialement dans un repère, il le fera aussi dans l’autre. Autrement dit, si alors . En revanche, si la vitesse est perpendiculaire à la direction du photon dans un repère, elle ne le sera pas en toute rigueur dans l’autre. En effet si alors . Et si alors .