Écoulement de Poiseuille - Définition

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- Introduction - Principe - Champ de vitesse entre deux plaques - Champ de vitesse dans un tube - Démonstration (dans le cas du tube)

Champ de vitesse entre deux plaques

On suppose que le gradient de pression est orienté selon l'axe $x$ et que la normale aux plaques est orientée selon $z$ , avec les plaques situées en $z = \pm h/2$ . La vitesse est alors parallèle aux plaques, et plus précisément orientée selon l'axe $x$ : $\vec{v} = v \vec{u}_x$ .

Équation du profil de vitesse :

$v(x,y,z) = v(z) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{4\,z^2}{h^2} \right)$

où la vitesse maximale (au milieu de la couche) est liée au gradient de pression, à la viscosité dynamique et à la distance entre les plaques : $v_{\rm max} = \frac{h^2}{8\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} x}$

La démonstration de ce résultat est similaire à celle donnée ci-dessous dans le cas du tube circulaire.

Champ de vitesse dans un tube

La vitesse est parallèle à l'axe du tube (noté $z$ ) : $\vec{v} = v \vec{u}_z$ .

Équation du profil de vitesse :

$v(r,z,\theta) = v(r) = v_{\rm max}\;\left( 1-\frac{r^2}{R^2} \right)$

où la vitesse maximale (au centre du tube) est liée au gradient de pression, à la viscosité dynamique et au rayon : $v_{\rm max} = \frac{R^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}$

La démonstration de ce résultat est donnée plus bas.

Démonstration (dans le cas du tube)

1. Par symétrie, l'écoulement ne varie ni en $z$ , ni en $θ$ :

$v (r, z,θ) = v (r)$

2. Par conséquent, les seuls efforts de cisaillement sont des forces selon $z$ transmises radialement (selon $r$ ) :

$\sigma_{rz}(r,z,\theta) = \sigma_{rz}(r) = \eta\;\frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r}$

3. Par symétrie également, la variation de la pression est constante le long de l'axe $z$ :

$\frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} = {\rm const}$

4. Considérons les efforts subis par une zone cylindrique de rayon $r$ et de longueur $Δ z$ .

Les efforts de pression sur les deux faces circulaires du cylindre ont une résultante égale à :

$F_{\rm faces} = \pi\,r^2 \; \Delta z \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}$

Les contraintes de cisaillement sur le bord du cylindre lui transmettent une force orientée selon son axe $z$ :

$F_{\rm bord} = 2\pi\,r \; \Delta z \; \sigma_{rz}(r)$

Le gradient de pression se transmet aux parois en tant que contrainte de cisaillement.

La force totale exercée sur le cylindre de liquide est nulle puisque l'écoulement est permanent. Ainsi :

$\sigma_{rz}(r) = \frac{r}{2} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}$

5. Il s'ensuit que le gradient de vitesse est linéaire en $r$ :

$\frac{{\rm d} v(r)}{{\rm d} r} = \frac{\sigma_{rz}(r)}{\eta} = \frac{r}{2\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}$

6. Autrement dit, le champ de vitesse est parabolique :

$v(r) = {\rm const} + \frac{r^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z}$

7. Compte tenu de la condition de non-glissement ( $v (R) = 0$ ) :

$v(r) = -\frac{R^2}{4\;\eta} \; \frac{{\rm d} p}{{\rm d} z} \; \left( 1-\frac{r^2}{R^2} \right)$

La vitesse est plus importante au centre du conduit malgré le signe négatif, étant donné que la vitesse est orientée à l'encontre du gradient de pression. Écoulement dans le sens positif pour un gradient négatif... CQFD

Principe

- Introduction - Principe - Champ de vitesse entre deux plaques - Champ de vitesse dans un tube - Démonstration (dans le cas du tube)

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