Droite (mathématiques) - Définition

L'approche d'Euclide

Définition formelle

Dans ses éléments, Euclide définit les objets relevant de la géométrie (point, droite, plan, angle) et leur affecte un certain nombre de propriétés (postulats). À l'aide de ces éléments de base, il essaie de construire, par des démonstrations rigoureuses, l'ensemble des autres propriétés.

Pour Euclide :

• une ligne est une longueur sans largeur;
• et une ligne droite est une ligne également placée entre ses points.

Il part d'une droite finie qu'il définit comme un segment. Il a besoin d'un postulat pour la prolonger au-delà de ses extrémités, d'un autre pour en prouver l'existence (Par deux points distincts passe une droite) et d'un autre appelé le cinquième postulat d'Euclide pour traiter des positions relatives des droites ( Si une droite coupe deux autres droites, de telle façon que la somme des angles intérieurs du même côté soit plus petite que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.) dont plusieurs versions équivalentes peuvent être données.

Applications

L'approche d'Euclide est féconde, elle permet de démontrer de nombreux théorèmes considérés comme élémentaires au regard des mathématiques au sens moderne du terme. On peut citer le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore ou encore le problème de Napoléon.

Géométrie analytique

Si l'espace vectoriel est muni d'une base, ou l'espace affine d'un repère, la droite peut être caractérisée par des équations.

Espace affine de dimension 2

Une droite affine est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que , où . Un vecteur directeur de la droite est le vecteur de coordonnées ( − b;a). L'équation précédente est appelée équation cartésienne de la droite.

Dans cette famille de droites, on rencontre

• les droites d'équation y = mx associées à des fonctions linéaires de R dans R
• les droites d'équation y = mx + p associées à des fonctions affines de R dans R
• les droites d'équation x = p parallèles à l'axe des ordonnées

m représente la pente de la droite.

Faisceau de droites

Espace affine de dimension n

En dimension n, la droite passant par et de vecteur est l'ensemble des points pour lesquels il existe un scalaire k tel que

Ce système d'équations s'appelle un système d'équations paramétrées de la droite.

Cas particulier de l'espace (dimension 3), en :

• Coordonnées cartésiennes :

• Coordonnées polaires :

Logique et géométrie

Motivation

L'approche algébrique permet d'enrichir très largement la géométrie et offre des réponses satisfaisantes à bon nombre de problèmes. En revanche une vielle conjecture reste ouverte : comment démontrer le cinquième postulat d'Euclide. Proclos l'exprime de la manière suivante: Dans un plan, par un point distinct d'une droite d, il existe une unique droite parallèle à d.

Déjà, les grecs savaient qu'une sphère semble pouvoir définir une géométrie, les droites seraient alors les grands cercles de la sphère. En revanche, la connexion entre une sphère et la définition d'une géométrie reste à cette époque hors de portée.

Rôle de Hilbert

David Hilbert apporte un élément de réponse. La construction d'Euclide n'est pas entièrement rigoureuse. Il manque en effet, quinze axiomes pour bâtir les fondements d'un système logique à même de supporter la géométrie euclidienne. Une telle formalisation existe, on parle par exemple d'axiomes de Hilbert.

La réponse à la question que pose le cinquième postulat est donc de l'ordre de la logique. La base axiomatique d'Euclide constituée des quatre premiers postulats est trop faible pour garantir le cinquième.

Si l'approche de Hilbert permet de résoudre cette question, elle est peu opérationnelle pour bâtir la théorie de la géométrie euclidienne. On utilise en général la base axiomatique de Peano pour construire l'ensemble des entiers naturels puis les différentes structures algébriques utilisées. L'intérêt des travaux de Hilbert sur cette question est donc surtout de l'ordre de la logique et peu géométrique.

Géométries non euclidiennes

Bien avant de comprendre la dimension logique de la problématique et dans le courant du XIX^e, sont nées d'autres géométries dans lesquelles la droite n'avait plus les mêmes propriétés que dans la géométrie euclidienne : les géométries non euclidiennes.

En géométrie projective, des droites parallèles se coupent en un point impropre et par deux points ne passe qu'une seule droite.

En géométrie hyperbolique, par un point donné, non situé sur une droite donnée, il passe au moins deux droites qui ne coupent pas la droite donnée.

En géométrie elliptique, deux droites sont toujours sécantes. Un exemple classique de géométrie elliptique est la géométrie sur une sphère où le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est une partie d'un grand cercle. Une droite est alors définie comme un grand cercle. Deux droites distinctes se coupent alors en deux points diamétralement opposés qui n'en forment qu'un pour cette géométrie. On retrouve la propriété : par deux points distincts passe une seule droite.

De plus on peut aussi définir une droite comme un cercle de rayon infini.

Cette définition est incompatible avec celle issue de l'algèbre linéaire. Dans ce contexte, on parle en général de géodésique pour éviter une confusion.