Division
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Algorithme de la division

Cet algorithme sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux nombres entiers, qui se généralise au quotient de deux nombres décimaux

Dans certains cas, la division "ne se termine pas", ce qui signifie que l'algorithme itère à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.).

Dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque les nombres sont des...) admet une période, dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) est strictement inférieure au diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n...).

Dans une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...) non exacte a\divb (a et b étant deux nombres entiers, b non nul), si on note qp et rp respectivement le quotient et le reste obtenus après p en poussant les itérations jusqu'à obtenir p chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :

\dfrac ab \approx q_p à 10 p près ou q_p <\dfrac ab < q_p+10^{-p}
et
\dfrac ab = q_p + \dfrac {r_p.10^{-p}}{b}

Un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.).

Propriétés

La division n'était pas à proprement parler une opération (loi de composition interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une...), définie partout), ses "propriétés" n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire.

"Non-propriétés"

  • non-commutative car  5 \div 3 \neq 3 \div 5
  • non-associative car 12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3

Remarques

  • pseudo-élément neutre à droite : 1
    \dfrac a1 = a
  • pseudo-élément absorbant à gauche : 0
     \mbox{ si } b \neq 0, \dfrac 0b = 0
  • égalité de fractions
    • de même dénominateur
       \mbox{ si } b \neq 0, \dfrac ab = \dfrac cb \iff a=c
    • en général (qui découle de la construction de \mathbb{Q})
       \mbox{ si } b \neq 0 \wedge d \neq 0, \dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc\,(produit~en~croix)
  • ordre
     \mbox{ si } b > 0, \dfrac ab et \dfrac cb sont dans le même ordre que a et c

Mathématiques et langue française

On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes. En...) donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite.

Ainsi, on peut :

  • diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau (Un couteau est un outil tranchant comportant une lame et un manche.)
  • simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
  • diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) que l'on s'en fait
  • simplement diviser 1 en 36ème
  • etc.

On peut également diviser par dichotomie ou par malice, mais diviser par 2 est un concept mathématique.
\dfrac ab = c : « a divisé par b est égal à c ».

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