Dilatation thermique - Définition et Explications

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Introduction

La dilatation thermique est l'expansion à pression constante du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) et augmentation de la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) lorsque la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...) augmente.

Origine de la dilatation thermique

Potentiel interatomique.

Dans un solide, les atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner...) possèdent une énergie thermique (L'énergie thermique est l'énergie cinétique d'un objet, qui est due à une agitation désordonnée de ses molécules et de ses atomes. Les transferts d'énergie thermique entre corps sont appelés...) et vibrent autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) de leur position moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer...). Cette vibration dépend de la température mais aussi du voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la...) des atomes, plus précisément du potentiel créé par les atomes environnants. À basse température, les potentiels interatomiques peuvent être décrits de façon harmonique : pour des températures proches de T = 0 K, les atomes restent centrés sur leur position moyenne r0. Ce n'est plus le cas pour des températures élevées : l'anharmonicité des potentiels interatomiques introduit une dépendance de la position moyenne des atomes avec la température, ce qui cause le phénomène de dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant différents phénomènes physiques, en...).

Lorsqu'un gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre : un gaz...) est soumis à un réchauffement, la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie,...) des particules qui le composent augmente. À volume constant, cela se traduit par une augmentation de la pression, car le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de chocs entre particules par unité de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) augmente. Si la pression doit rester constante, le volume du gaz doit alors augmenter, selon la loi des gaz parfaits. Pour les gaz non parfaits, les forces d'attraction entre les particules du gaz peuvent réduire l'expansion thermique.

La dilatation thermique des liquides a en principe les mêmes causes que celle des gaz, mais l'effet des forces d'attraction entre les particules sur la dilatation est nettement réduit, car elles sont plus proches les unes des autres.

Coefficients de dilatation thermique α

Cas isotrope

On peut calculer pour tous les matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) isotropes la variation de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) et donc de volume en fonction de la variation de température :

 \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T

avec :

  • ΔL la variation de longueur en mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en...) (m) ;
  • α le coefficient de dilatation (Les coefficients de dilatation mesurent l'augmentation relative de volume d'un système lorsque l'on ne fait varier qu'un seul paramètre, en général la...) linéaire en kelvin (Le kelvin (symbole K, du nom de Lord Kelvin) est l'unité SI de température thermodynamique. Par convention, les noms d'unité sont des noms communs et...) puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) moins un (K -1) ;
  • L0 la longueur initiale en mètre (m) ;
  • ΔT = T - T0 la variation de température en kelvin (K) ou en degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) Celsius (°C).

Remarque : puisqu'on utilise une variation (une différence de température) la différence d'origine entre kelvin et degré Celsius s'annule, la distinction n'est donc pas nécessaire.

On peut aussi directement calculer la longueur en fonction de la température :

 L(T) = L_0 + \Delta L = L_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T - T_0))

avec :

  • L(T) la longueur en mètre (m) en fonction de la température ;
  • T la température considérée en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C) ;
  • T0 la température initiale en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C).

Application

Soit un rail (Un rail (ou lisse en québécois) est une barre d’acier profilée. Deux files parallèles de rails mis bout à bout forment une voie ferrée. Ils reposent alors...) en acier (L’acier est un alliage métallique utilisé dans les domaines de la construction métallique (voir aussi l’article sur la théorie du soudage de l’acier) et de la construction mécanique.) de 30 m en hiver (L'hiver est une des quatre saisons des zones tempérées.) à -20 °C ; en été, la température est de 40 °C. Le rail subit donc une variation de température ΔT = 60 K, sa variation de longueur sera :

 \Delta L = \alpha_{acier} \cdot L_0 \cdot \Delta T = 12 \cdot 10^{-6} \times 30 \times 60 = 2,16\cdot 10^{-2} m

Ainsi le rail s'allonge de 21,6 mm, sa longueur en été est de 30,0216 m.

Tenseur (Tenseur) de dilatation thermique

Les matériaux cristallins non cubiques présentent une dilatation thermique anisotrope : on n'observe pas le même coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) de dilatation α dans toutes les directions. Pour cette raison, on utilise un tenseur symétrique d'ordre 2 pour décrire la dilatation dans les matériaux anisotropes :

\begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21}=\alpha_{12} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31}=\alpha_{13} & \alpha_{32}=\alpha_{23} & \alpha_{33} \end{bmatrix}

Ainsi, dans le cas général d'un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets. C'est donc une matière de base...) triclinique, six coefficients de dilatation thermique sont nécessaires. Ces coefficients se rapportant à un repère orthogonal, les coefficients de dilatation n'ont pas forcément de rapport direct avec les axes cristallographiques du matériau. En effet, les valeurs propres et vecteurs propres d'un tenseur d'ordre 2 forment toujours (dans le cas où les valeurs propres sont positives) une ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à...) de révolution, dont les axes sont perpendiculaires les uns aux autres : on dit qu'un tenseur d'ordre 2 possède toujours au moins la symétrie ponctuelle orthorhombique maximale 2/m 2/m 2/m.

Pour un cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition scientifique de ce mot. Selon l'Union internationale de cristallographie, tout...) orthorhombique par exemple, où α12 = α13 = α23 = 0, le tenseur de dilatation est diagonal et α11, α22 et α33 décrivent la dilatation le long des trois directions cristallographiques a, b et c du matériau. Par contre, dans le système monoclinique, α13 est non nul : alors que α22 représente la dilatation thermique le long de b, la relation entre α11, α33, α13 et les paramètres de maille a, c, β n'est pas aussi triviale. Par convention, le repère orthogonal (e1, e2, e3) choisi pour décrire la dilatation thermique dans les matériaux monocliniques est tel que e2 est parallèle au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) b, axe de symétrie du cristal, e3 est parallèle à c et e1 est parallèle au vecteur du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud (node) l'extrémité...) réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) a*, qui forme par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) un trièdre direct avec b et c : α33 représente la dilatation thermique le long de c, alors que α11 représente la dilatation le long du vecteur réciproque a* qui est différent de a.

Dans le cas général triclinique, il est possible de calculer les coefficients du tenseur de dilatation thermique à partir des variations en température des paramètres de maille. Dans le repère conventionnel orthogonal (e1, e2, e3), défini par e3 parallèle à c, e2 parallèle à b* et e1 étant le produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée...) de e2 et e3, on obtient :

\begin{array}{rcl}       \alpha_{11} & = & \displaystyle{\frac{1}{a} \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}T} + \frac{\mbox{d}\beta}{\mbox{d}T} \cot{\beta}}\\[3ex]       \alpha_{22} & = & \displaystyle{\frac{1}{b} \frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}T} + \frac{\mbox{d}\alpha}{\mbox{d}T} \cot{\alpha} + \frac{\mbox{d}\gamma^*}{\mbox{d}T} \cot{\gamma^*}}\\[3ex]       \alpha_{33} & = & \displaystyle{\frac{1}{c} \frac{\mbox{d}c}{\mbox{d}T}}\\[3ex]       \alpha_{12} & = & \displaystyle{\frac{1}{2} \cot{\gamma^*} \left( \frac{1}{a} \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}T} - \frac{1}{b} \frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}T} - \frac{\mbox{d}\alpha}{\mbox{d}T} \cot{\alpha} + \frac{\mbox{d}\beta}{\mbox{d}T} \cot{\beta} \right) + \frac{1}{2} \frac{\mbox{d}\gamma^*}{\mbox{d}T}}\\[3ex]       \alpha_{13} & = & \displaystyle{\frac{1}{2} \cot{\beta} \left( \frac{1}{a} \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}T} - \frac{1}{c} \frac{\mbox{d}c}{\mbox{d}T} \right) - \frac{1}{2} \frac{\mbox{d}\beta}{\mbox{d}T}}\\[3ex]       \alpha_{23} & = & \displaystyle{\frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1}{a} \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}T} - \frac{1}{c} \frac{\mbox{d}c}{\mbox{d}T} \right) \cot{\gamma^*} \cot{\beta} + \left( \frac{1}{b} \frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}T} - \frac{1}{c} \frac{\mbox{d}c}{\mbox{d}T} \right) \frac{\cot{\alpha}}{\sin{\gamma^*}} - \left( \frac{1}{\sin{\gamma^*}} \frac{\mbox{d}\alpha}{\mbox{d}T} + \frac{\mbox{d}\beta}{\mbox{d}T} \cot{\gamma^*} \right) \right\}}     \end{array}

a, b, c, α, β, γ sont les paramètres de maille du cristal dans le réseau direct et γ* est l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre les vecteurs a* et b* du réseau réciproque.

Les valeurs propres du tenseur de dilatation thermique, ou coefficients de dilatation linéaires principaux α1, α2 et α3, permettent aussi d'obtenir le coefficient de dilatation volumique β vu plus haut, trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...) du tenseur : β = α1 + α2 + α3 = α11 + α22 + α33, puisque la trace d'une matrice carrée est invariante par changement de base. Pour les matériaux isotropes, on retrouve ainsi le résultat β = 3α.

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