Diffusion Compton - Définition

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- Introduction - Histoire de la découverte de l'effet Compton - Détection des photons diffusés - Démonstration - Diffusion Compton inverse

Démonstration

Schéma montrant la collision d'un photon sur un électron au repos. L'angle de diffusion du photon est

θ

, et celui de l'électron

φ

Considérons un photon venant de la gauche et se dirigeant vers la droite avec une impulsion $\vec{p_1}$ et une énergie $E = p 1 c$ . Le photon est diffusé par un électron au repos d'énergie initiale $m e c 2$ . Le photon est diffusé dans une direction faisant un angle $θ$ par rapport à la direction d'origine. L'électron prenant une direction $φ$ , l'impulsion du photon après diffusion sera $\vec{p_2}$ et celle de l'électron $\vec{p_e}$ .

Variation de la longueur d'onde du photon incident

Pour connaître la variation de longueur d'onde du photon dû à la collision, on utilise la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie. La première s'écrit, selon les directions «x» et «y», respectivement le long de la trajectoire incidente du photon, et sa perpendiculaire (voir la figure):

En isolant le terme contenant $p e$ dans les deux équations, en élevant ensuite au carré, puis en additionnant les deux équations, et finalement en utilisant l'identité trigonométrique: $cos 2 φ + sin 2 φ = 1$ , on obtient:

D'un autre côté, la conservation de l'énergie s'écrit:

où $m e$ et $c$ sont la masse de l'électron, et la vitesse de la lumière respectivement. Le signe $γ$ est utilisé ici comme habituellement pour désigner le photon-lui-même. De nouveau en isolant le terme en ${p_{e}}^{2}$ , on obtient:

En soustrayant les deux expressions obtenues pour ${p_{e}}^{2}$ , on peut calculer l'expression :

On introduit alors l'hypothèse quantique selon laquelle l'impulsion d'un photon est reliée à sa longueur d'onde $λ$ comme: $p = h / λ$ où $h$ est la constante de Planck. Ainsi, l'équation précédente donne directement la variation de longueur d'onde du photon:

De la même manière, en utilisant $\hbar = h/2\pi$ , et l'identité trigonométrique $1-\cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ , on peut écrire:

Cette expression est identique à celle qui s'obtient par un calcul utilisant la mécanique quantique, et les diagrammes de Feynman.

Le facteur : $\frac {h}{m_e c}$ porte le nom de "longueur d'onde de Compton". On le note $λ C$ , il vaut 0,024 Å.

Variation de l'énergie du photon diffusé

La variation de longueur d'onde va de paire avec une variation d'énergie : $Δ E$ donnée par le Postulat de Planck-Einstein : $\Delta{}E = h \Delta{}\nu{} = hc (\frac {1}{\lambda+\Delta \lambda } - \frac{1}{\lambda} ) = -hc \frac{\Delta\lambda}{\lambda(\lambda+\Delta\lambda)}$ .

Ainsi, si un photon incident possède une énergie : $E 0$ , alors l'énergie de ce photon après diffusion sur un électron de la matière aura l'énergie :

$E = \frac {E_0} {1 + \alpha (1- \cos \theta)}$

où $\alpha = \frac {E_0}{m_e\,c^2}$ et $m_e\,c^2 = 0.511 MeV$ .

L'énergie perdue par le photon est entièrement distribuée à l'électron sur lequel la diffusion s'est faite, l'électron acquiert ainsi l'énergie cinétique:

$T_e = E_0 - E = E_0 - \frac {E_0} {1 + \alpha (1- \cos \theta)}$

Nous obtenons ainsi la relation suivante:

$T_e = E_0 \frac {\alpha (1- \cos \theta)} {1 + \alpha (1- \cos \theta)}$

Distribution angulaire de la diffusion Compton

La diffusion Compton n'est pas isotrope, c'est-à-dire que la probabilité pour un photon d'être diffusé vers un certain angle solide $d Ω$ n'est pas constante: en effet, bien que la probabilité de diffusion vers n'importe quel azimut $χ$ est constante, la probabilité de diffusion vers l'angle polaire $θ$ est plus grande quand $θ$ est proche de 0, c'est-à-dire que le photon a plus de chance d'être diffusé vers l'avant.

La probabilité pour un photon d'énergie $E 0$ d'être diffusé vers un angle $θ$ quelconque est donnée par la formule de Klein-Nishina :

$\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) = \frac{r_0^2} {2} \frac {1} {(1 + \alpha (1-\cos{\theta}))^2} (1+ \cos^2{\theta} + \frac {\alpha^2 (1-\cos{\theta})^2} {1 + \alpha (1-\cos{\theta})})$

où $r 0$ est le rayon classique d'un électron ( $r_0^2 = 7.940775 \times 10^{-26} cm^2$ ), et $\alpha = \frac {E_0}{m_e\,c^2}$ .

Cette formule montre que la diffusion est symétrique à faible énergie.

Une autre forme plus facile à retenir de cette formule fait intervenir le rapport des énergies du photon avant et après collision :

$\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) = \frac {r_0^2} {2} \epsilon^2 (\epsilon + \frac {1} {\epsilon} -\sin{}^2(\theta))$

où $\epsilon = \frac{E}{E_0}$

Ainsi la probabilité pour un photon d'énergie $E 0$ de subir une diffusion Compton s'écrit :

$\sigma_{KN} = \int_{4\pi} {\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) d\Omega} = \int^{\pi}_{0} {\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) 2\pi \sin{\theta} d\theta}$

Ce qui s'intègre en :

$\sigma_{KN} = 2 \pi r_0^2 ( \frac {1+\alpha} {\alpha^3} (\frac {2 \alpha (1+\alpha)} {1+2\alpha} - \ln(1+2\alpha)) + \frac {\ln(1+2\alpha)} {2\alpha} - \frac {1+3\alpha} {(1+2\alpha)^2} )$

À partir de la formule de Klein-Nishina, il est aussi possible de calculer la probabilité qu'un photon diffusé le soit entre deux angles : $θ1$ et $θ2$ . Calculons pour cela la probabilité de diffusion entre les angles polaires 0 et $θ$ :

$P(0\rightarrow\theta) = \frac {\int^{\theta}_{0}{\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega} d\Omega}} {\int^{\pi}_{0}{\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega} d\Omega}}$

Ce qui s'intègre en :

$P(0\rightarrow\theta) = (2\alpha +1)^2 \frac {N} {2q^3D}$

avec:

$q = 1 + α(1 - cosθ)$
$N = 2 q 4 + α q 3 (α + 4) + 2 q 3 (α 2 - 2α - 2) l n q - 2 q 2 (2α + 1) - q α 2$
$D = 4α(α + 1) 2 (2α + 1) + (2α + 1) 2 (α 2 - 2α - 2) l n (2α + 1) - 2α 3 (3α + 1)$

La probabilité $P(\theta1\rightarrow\theta2)$ de diffusion entre les angles $θ1$ et $θ2$ , tels que $θ2 > θ1$ s'écrit alors :

$P(\theta1\rightarrow\theta2) = P(0\rightarrow\theta2) - P(0\rightarrow\theta1)$

Détection des photons diffusés

Diffusion Compton inverse

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