Diagramme de Coxeter-Dynkin - Définition

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Introduction

Les groupes de Coxeter dans le plan avec les diagrammes équivalents. Les miroirs du domaine sont nommés par les arêtes m1, m2, etc. Les sommets sont colorés par leur ordre de réflexion. Le groupe prismatique [W2xW2] est montré comme un doublement de R3, mais il peut aussi être créé comme des domaines rectangulaires à partir du doublement des triangles V3. Le P3 est un doublement du triangle V3.
Les groupes de Coxeter dans la sphère avec les diagrammes équivalents. Un domaine fondamental est bordé en jaune. Les sommets sont colorés par leur ordre de réflexion.
Les groupes de Coxeter dans l'espace tridimensionnel avec les diagrammes. Les miroirs (faces triangulaires) sont nommés par le sommet opposé 0..3. Les arêtes sont colorées par leur ordre de réflexion.
R4 remplit 1/24 du cube. S4 remplit 1/12 du cube. P4 remplit 1/6 du cube.

En géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroir (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique.

En tant que graphe lui-même, le diagramme représente les groupes de Coxeter, chaque nœud du graphe représente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe représente l'ordre de l'angle diédrique entre deux miroirs (sur une arête du domaine).

En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nœuds pour les miroirs actifs représentant un polytope uniforme précis.

Le diagramme est issu du diagramme de Dynkin.

Description

Le diagramme peut aussi représenter les polytopes en ajoutant des anneaux (cercles) autour des noeuds. Chaque diagramme doit avoir au moins un nœud actif pour représenter un polytope.

Les anneaux expriment une information : si un point générateur est dans ou en dehors du miroir. Plus précisément, un miroir est actif (il crée des réflexions) seulement lorsque des points sont en dehors du miroir, donc ajouter un anneau signifie qu'un point est en dehors du miroir et créé une réflexion.

Les arêtes sont étiquetées avec un entier n (ou quelquefois plus généralement un nombre rationnel p/q) représentant un angle diédrique de 180/n. Si une arête n'est pas étiquetée, elle est supposée être 3. Si n=2, l'angle est 90 degrés et les miroirs n'ont pas d'interaction, et l'arête peut être omise. Deux miroirs parallèles peuvent être marqués avec "∞".

En principe, n miroirs peuvent être représentés par un graphe complet dans lequel toutes les n*(n-1)/2 sont dessinées. En pratique, les configurations intéressantes de miroirs incluront un nombre d'angles droits, et les arêtes correspondantes peuvent être omises.

Les polytopes et les pavages peuvent être engendrés en utilisant ces miroirs et un point générateur unique. Les images miroir créent des nouveaux points comme réflexions. Les arêtes peuvent être créées entre les points et une image miroir. Les faces peuvent être construites par cycles d'arêtes créées, etc.

Groupes finis de Coxeter

Les familles de polytopes convexes uniformes sont définis par les groupes de Coxeter.

Notes :

  • Trois symboles différents sont donnés pour les mêmes groupes - une lettre/nombre, un ensemble de nombres avec des accolades et le diagramme de Coxeter.
  • Les groupes bifurqués Bn sont aussi donnés par la notation h[] représentant le fait que c'est une version demie ou alternée des groupes réguliers Cn.
  • Les groupes bifurqués Bn et En sont aussi étiquetés par un exposant [3a,b,c] où a,b,c sont le nombre de segments dans chacune des 3 branches.
n A1+ B4+ C2+ D2p E6-8 F4 G2-4
1 A1=[]
CDW dot.svg
           
2 A2=[3]
CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
  C2=[4]
CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg
D2p=[p]

CDW dot.svgCDW p.svgCDW dot.svg

    G2=[5]
CDW dot.svgCDW 5.pngCDW dot.svg
3 A3=[3²]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B3=A3=[30,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.png

C3=[4,3]
CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
      G3=[5,3]
CDW dot.svgCDW 5.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
4 A4=[3³]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B4=h[4,3,3]=[31,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

C4=[4,3²]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E4=A4=[30,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.png

F4=[3,4,3]
CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
G4=[5,3,3]
CDW dot.svgCDW 5.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
5 A5=[34]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B5=h[4,3³]=[32,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C5=[4,3³]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E5=B5=[31,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
6 A6=[35]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B6=h[4,34]=[33,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C6=[4,34]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E6=[32,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
7 A7=[36]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B7=h[4,35]=[34,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C7=[4,35]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E7=[33,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
8 A8=[37]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B8=h[4,36]=[35,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C8=[4,36]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E8=[34,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
9 A9=[38]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B9=h[4,37]=[36,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C9=[4,37]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

       
10+ .. .. ..

Note : (les noms alternatifs comme les groupes simples de Lie sont donnés)

  1. An forme la famille du polytope simplex. (de même que An)
  2. Bn est la famille des polytopes de demi-mesure, commençant à n=4 avec le 24-cellules et n=5 avec le penteract. (aussi nommé Dn)
  3. Cn forme la famille des hypercubes. (de même que Cn)
  4. D2n forme les polygones réguliers. (aussi nommé I1n)
  5. E6,E7,E8 sont les générateurs des polytopes semi-réguliers de Gosset (de même que E6,E7,E8)
  6. F4 est la famille du polychore 24-cellules. (de même que F4)
  7. G3 est la famille du polyèdre dodécaèdre/icosaèdre. (aussi nommé H3)
  8. G4 est la famille du polychore 120-cellules/600-cellules. (aussi nommé H4)
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