Dérivée covariante - Définition

Description en coordonnées

Champ de vecteurs

Soit des coordonnées , tout vecteur tangent peut être décrit à l'aide de ses composantes dans la base e_i. La dérivée covariante est un vecteur et peut ainsi être exprimée comme la combinaison linéaire Γ^ke_k de tous les vecteurs de base, où Γ^ke_k représente chacune des composantes du vecteur (en notation d'Einstein). Pour décrire la dérivée covariante il suffit de décrire celle de chacun des vecteurs de base e_j le long de e_i.

Les coefficients Γ^k_{i j} sont appelées les symboles de Christoffel.

En utilisant ces coefficients pour des vecteurs et on a :

Le premier terme de cette formule décrit la « déformation » du système de coordonnées par rapport à la dérivée covariante, et le second les changements de coordonnées du vecteur u. En particulier

La dérivée covariante est la dérivée selon les coordonnées à laquelle on ajoute des termes correctifs décrivant l'évolution des coordonnées.

Champ de tenseurs

La dérivée covariante d'un tenseur de type (r,s) par rapport à e_c est donnée par l'expression :

Définition formelle

Fonctions

Pour une fonction f, la dérivée covariante correspond à la dérivée normale d'une fonction réelle dans la direction d'un vecteur v, généralement notée ou .

Champ de vecteurs

Une dérivée covariante d'un champ vectoriel dans la direction du vecteur , notée est définie par les propriétés suivantes pour tout champ de vecteur u, v, w et toutes fonctions scalaires f et g :

1. est linéaire en d'où
2. est additive en d'où
3. où est le crochet de Lie
4. obéit aux règles générales de la dérivation concernant le produit, c'est-à-dire où est définie plus haut.

Noter que au point P dépend de la valeur de v et de P, ainsi que des valeurs de u dans un voisinage de P du fait de la dernière propriété. Ceci signifie que la dérivée covariante n'est pas un tenseur.

Champ de tenseurs

Une fois que la dérivée covariante est définie pour les champs de vecteurs, elle peut être étendue aux champs tensoriels en utilisant les identités suivantes où et ψ sont deux tenseurs quelconques :

et si et ψ sont deux champs de tenseurs du même ordre alors

La dérivée covariante d'un champ de tenseurs le long d'un vecteur v est à nouveau un champ de tenseur du même type.

Dérivée le long d'une courbe

Du fait que la dérivée covariante dépend uniquement de la valeur de X en un point on peut définir la dérivée covariante le long d'une courbe régulière γ(t) d'une variété :

Dans ce cas le champ tensoriel T doit être défini simplement le long de la courbe γ(t).

Parfois la dérivée covariante le long d'une courbe est qualifiée d'absolue ou dérivée intrinsèque.

Notation

Dans les ouvrages de physique, la dérivée covariante est parfois décrite à l'aide de ses composantes dans les équations.

On note souvent la dérivée covariante à l'aide d'un point-virgule, tandis que la dérivée partielle usuelle est indiquée par une virgule, sur le modèle suivant :

À nouveau, ceci montre que la dérivée covariante d'un champ vectoriel n'est pas simplement obtenue en dérivant les coordonnées vⁱ_,j, mais dépend aussi du vecteur v lui-même à travers v^kΓⁱ_kj.

Dans d'autres textes plus anciens (incluant l'ouvrage Introduction to General Relativity, Adler, Bazin & Schiffer), la dérivée covariante est notée à l'aide d'une double barre verticale :