Densité de probabilité - Définition
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Introduction
En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d'intégrales.
Formellement, une loi de probabilité possède une densité ƒ, si ƒ est une fonction définie sur 
positive ou nulle et Lebesgue-intégrable, telle que la probabilité de l'intervalle [a, b] est donnée par
pour tous nombres a
Cela implique que l'intégrale de ƒ sur tout 
donne 1. Réciproquement, pour toute fonction ƒ positive ou nulle et Lebesgue-intégrable, d'intégrale égale à 1 :
il existe une loi de probabilité ayant ƒ pour densité de probabilité.
Intuitivement, si une loi de probabilité a pour densité ƒ, alors l'intervalle infinitésimal [x, x + dx] a pour probabilité ƒ(x) dx.
Informellement, une densité de probabilité peut être vue comme la limite d'un histogramme : si on dispose d'un échantillon suffisamment important de valeurs d'une variable aléatoire à densité, représenté par un histogramme des fréquences relatives des différentes classes de valeurs, alors cet histogramme va ressembler à la densité de probabilité de la variable aléatoire, pourvu que les classes de valeurs soient suffisamment étroites.
Densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle
Définition — En théorie des probabilités ou en statistiques, on dit qu'une fonction 
est une densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle 
si, pour tout réel 
La probabilité 
se calcule alors par la relation suivante :
En traçant la représentation graphique de la densité de probabilité, la probabilité se lit comme l'aire sous la courbe sur l'intervalle ![\scriptstyle\ [a , b].](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/5/51b8152cc3f0b2ae7d1f99468dd26c42_2ae8947499bcd698cad6049f435bc624.png){kind=small}
En conséquence, la fonction de répartition 
de est continue, et 
pour tout nombre réel 
En cela, le comportement d'une variable à densité est très différent de celui d'une variable discrète.
Définition informelle de la densité de probabilité
La définition qui suit est une reformulation de la définition intégrale proposée en début d'article. C'est la définition utilisée en général par les physiciens, en particulier ceux issus du domaine de la physique statistique.
Si 
est un nombre réel positif infiniment petit, alors la probabilité que soit inclus dans l'intervalle ![\scriptstyle\ [t,t+dt]\](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/e/e055aaf2854672bf53e3708779a3bf7f_3e0083745032c941de1dab12d6de8e89.png){kind=small}
est égale à 
soit:
Cette « définition » est très utile pour comprendre intuitivement à quoi correspond une densité de probabilité, et est correcte dans beaucoup de cas importants. On peut tracer une analogie avec la notion de densité de masse, ou encore avec la notion de densité de population. Une formulation plus mathématique serait
ce qui permet de comprendre en quoi la définition donnée en physique n'est pas complètement rigoureuse :
et il est alors facile de vérifier que si possède une limite à droite en 
, notons-là 
on a alors
ce qui corrobore la définition physique lorsque est continue à droite en 
mais la met en défaut quand 
Bien sûr, les densités de probabilités usuelles sont continues à droite sauf éventuellement en un nombre fini (et en un petit nombre) de points.
Notons que ce genre d'interprétation infinitésimale (ou issue de la physique) s'étend aux dimensions 
voir la section suivante.
Soit 
une suite de 9 v.a. r. i.i.d. de même densité 
et de même fonction de répartition 
Notons 
la médiane de cette suite. Alors :
On peut voir cela comme une suite de 9 expériences aléatoires indépendantes faites dans les mêmes conditions, avec à chaque fois 3 issues : "
", "
" et "
", de probabilités respectives 
et 
donc la probabilité ci dessus est donnée par la loi multinomiale de paramètres 3, 9 et 
Ainsi :
et la densité de est
Cette méthode est détaillée dans le livre de David. Un résultat plus général se trouve dans Statistique d'ordre.
Critères d'existence d'une densité
En vertu d'un théorème dû à Lebesgue, la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle 
étant croissante, est dérivable presque partout sur 
et la dérivée ainsi obtenue est positive et intégrable sur d'intégrale inférieure ou égale à 1.
Critère 1 — possède une densité de probabilité si et seulement si l'intégrale, sur de la dérivée de la fonction de répartition est exactement égale à 1. Cette dérivée est alors une des densités de probabilité de 
Critère 2 — Si la fonction de répartition de est de classe 
par morceaux sur 
et est, d'autre part, continue sur alors la dérivée de la fonction de répartition de est une des densités de probabilité de
Pour le calcul de la densité de la médiane de 9 variables i.i.d., une solution plus rigoureuse que celle de la section précédente, mais plus lourde, est de calculer la fonction de répartition de la médiane, puis de la dériver. On reconnait un schéma de Bernoulli : le nombre d'indices 
tels que 
suit une loi binomiale de paramètres 9 et 
En dérivant, on trouve :
Après quelques manipulations sur les coefficients binomiaux, tous les termes de cette somme se télescopent, sauf une partie du premier terme, ce qui donne :
puis
Pour les deux dernières égalités, se référer aux pages sur la fonction bêta et sur la fonction gamma. Il en découle que 
satisfait le critère 1. CQFD
On pourra consulter le livre de David (pages 8-13) pour plus de détails.