Densité de probabilité - Définition
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Fonction de variables aléatoires à densité
Dans cette section, on considère la question suivante : étant donnée une variable aléatoire 
de densité 
et une fonction 
quelle est la loi de la variable aléatoire 
En particulier, sous quelles conditions 
possède-t-elle aussi une densité de probabilité 
? Et comment peut-on la calculer ? Une réponse rapide est que, localement, on doit pouvoir appliquer à la fonction g le théorème d'inversion locale sauf sur un ensemble de points de mesure de Lebesgue nulle). Le calcul de se résume alors à un changement de variable dans une intégrale simple ou multiple, comme cela est illustré dans les quelques exemples ci-dessous.
Somme de variables aléatoires indépendantes
La densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes U et V, chacune ayant une densité fU et fV, est donnée par une convolution de ces densités:
Dans cet exemple, 
et 
Dans cet exemple, 
et 
Alors, pour toute fonction 
mesurable bornée,
![\begin{align}\mathbb{E}[\varphi(Y)] &= \mathbb{E}[\varphi(U+V)] = \int_{\mathbb{R}^{2}}\varphi(u+v)f_{X}(u,v)dudv \\ &= \int_{\mathbb{R}^{2}}\varphi(y)f_{X}(t,y-t)\ |J(y,t)|\ dydt, \end{align}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/5/58e659ca6f6664c051f6e99b599795c9_f8a50e0c99c603d17c2991a5e0971cf2.png)
où 
désigne le déterminant jacobien correspondant au changement de variable
c'est-à-dire
Donc, pour toute fonction mesurable bornée,
![\begin{align}\mathbb{E}[\varphi(Y)] &= \int_{\mathbb{R}}\varphi(y)\left(\int_{\mathbb{R}}f_{X}(t,y-t)dt\right)\ dy \\ &= \int_{\mathbb{R}}\varphi(y)\left(\int_{\mathbb{R}}f_{U}(t)f_{V}(y-t)dt\right)\ dy \\ &= \int_{\mathbb{R}}\varphi(y)\ (f_{U}\ast f_{V})(y)\ dy. \end{align}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/0/0d6f34e0e187b8027f018f4e2184e0a1_f45e721264a98a9062df6361ea162b4e.png)
Pour déterminer la loi de la somme de variables indépendantes, on peut aussi passer par la fonction génératrice des moments ou par la fonction caractéristique d'une variable aléatoire . C'est ainsi qu'est démontré le théorème de la limite centrale.
Fonction d'une variable aléatoire réelle à densité
Notons la densité de la variable aléatoire réelle 
Il est possible de considérer un changement de variable, dépendant de x. La transformation est la suivante: Y = g(X) où la fonction g est strictement monotone et dérivable, de dérivée qui ne s'annule nulle part. La densité fY(y) de la transformée est
où g−1 représente la fonction réciproque de g et g' la dérivée de g.
Ce résultat découle du fait que les probabilités sont invariantes par changement de variable. Supposons par exemple que g est décroissante :
En différenciant, on obtient
qui s'écrit encore
Le cas où g est croissante se traite de manière analogue.
Pour une transformation g non monotone, la densité de probabilité de Y est
où n(y) est le nombre de solutions en x de l'équation g(x) = y, et 
sont les solutions. La fonction g doit vérifier certaines hypothèses, toutefois : essentiellement on doit pouvoir lui appliquer le théorème d'inversion locale sauf sur un ensemble de points de mesure de Lebesgue nulle. Par exemple un ensemble d'hypothèses peu limitatif mais simple à vérifier serait : g est de classe C1 et l'ensemble des zéros de la dérivée g' est localement fini. Il s'agit d'exclure entre autres (mais pas seulement) le cas où g est constante sur un ensemble de mesure non nulle pour la loi de X, cas où g(X) n'a pas une loi à densité, car la loi de g(X) peut alors avoir une partie discrète.
- Prenons l'exemple d'une fonction affine ; si
alors :
- En effet, si, par exemple, a est strictement négatif, on obtient, via le changement de variable
![\begin{align} \mathbb{E}[\varphi(Y)] &= \mathbb{E}[\varphi(aX+b)] = \int_{\mathbb{R}}\varphi(ax+b)f_X(x)dx \\ &= \int_{+\infty}^{-\infty}\varphi(u)f_X\left(\tfrac{u-b}{a}\right)\ \tfrac{du}{a} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(u)\ \left(\tfrac{1}{-a}\ f_X\left(\tfrac{u-b}{a}\right)\right)\ du, \end{align}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/0/023785808dca259070f0912bb3e07098_a7dbeab5804bb977b043d2d4cb58183b.png)
- ceci pour toute fonction mesurable bornée. CQFD
- Prenons l'exemple du carré d'une variable aléatoire ; on sait que, si
![\begin{align} \mathbb{E}[\varphi(Y)] &= \mathbb{E}[\varphi(X^2)] = \int_{\mathbb{R}}\varphi(x^2)f_X(x)dx \\ &= \int_{-\infty}^{0}\varphi(x^2)f_X(x)dx+\int_{0}^{+\infty}\varphi(x^2)f_X(x)dx \\ &= \int_{+\infty}^{0}\varphi(u)f_X(-\sqrt{u})\ \left(-\frac{du}{2\sqrt{u}}\right)+ \int_{0}^{+\infty}\varphi(u)f_X(\sqrt{u})\ \left(\frac{du}{2\sqrt{u}}\right) \\ &= \int_{\mathbb{R}}\varphi(u)\ \frac{1}{2\sqrt{u}} \left[f_X(\sqrt{u}) + f_X(-\sqrt{u})\right] 1_{u>0}du, \end{align}](https://upload.wikimedia.org/math/9/7/b/97b3bf70bc2085cf9046944027fa9af8.png)
- ceci pour toute fonction mesurable bornée. Ainsi, on trouve que
![f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\right] 1_{y>0}](https://upload.wikimedia.org/math/8/c/7/8c722d52895b73c91fff912f369494ae.png)
- ce qui est conforme à la formule.
- Autre solution : on sait que,
- si
:
- si
-
- si
alors
- si
- En dérivant, on trouve à nouveau
![f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\right] 1_{y>0}.](https://upload.wikimedia.org/math/a/b/e/abeaf0a1897715a264d8b112e3929fdd.png)
Prenons X uniforme sur [0,2] et 
Alors
![P_Y(dy) = \tfrac12\ 1_{[0,1]}(y)\ dy\ +\ \tfrac12\ \delta_{1}(dy).](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/b/b2aa00436a4cd524bb257d23d2d55261_c5a05c495db3717dc885a57c45ebbcf8.png){kind=small}
Autrement dit, la loi de Y a une partie à densité, mais aussi un atome en 1.