Courbe - Définition

Introduction

En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.

La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension 1. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :

• une courbe peut être décrite par un point qui se meut suivant une loi déterminée. La donnée d'une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de dimension 1 ;
• une courbe peut être vue comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.

Ainsi une courbe plane peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre (équation paramétrique)

,

ou encore par la donnée d'une équation cartésienne, ou implicite :

Première approche des invariants associés aux courbes

La géométrie différentielle a pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue : on définit notamment la longueur d'un arc de courbe, et les concepts de tangente à la courbe, de courbure.

Tangente à la courbe

La tangente est limite des sécantes

On commence par définir la droite sécante entre deux points M et N de la courbe : c'est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M.

La tangente en M est également la droite « la plus proche possible » de la courbe au voisinage de M. C'est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et de dérivée d'une fonction, ou encore de développement limité à l'ordre 1 d'une fonction.

La courbe reste très souvent d'un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du point M. Cependant, en certains points particuliers, appelés points d'inflexion elle traverse sa tangente.

Cercle osculateur et courbure

Cercle osculateur

On peut également définir le cercle osculateur de la courbe au point M comme le cercle « le plus proche possible » de M, au voisinage de M. On peut montrer que ce cercle embrasse mieux la courbe que ne le fait la tangente, d'où le mot osculateur (dont l'étymologie est « petite bouche »). Mais pour donner un sens précis à cette affirmation il faut introduire la notion de contact.

Le centre du cercle osculateur est appelé centre de courbure, son rayon rayon de courbure. La courbure est, par définition, l'inverse du rayon de courbure. La courbure au point M est d'autant plus forte que la courbe effectue en M un virage serré.

Torsion d'une courbe gauche et généralisation

La tangente décrit bien le comportement de la courbe au premier ordre : la tendance globale de la courbe est d'avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l'information précédente, en donnant la tendance à tourner d'un côté ou de l'autre de la tangente.

Pour les courbes de l'espace à trois dimensions, il est possible d'aller plus loin. La courbe, à l'ordre deux, a tendance à avancer en tournant en restant dans le plan contenant le cercle osculateur (appelé plan osculateur). Une correction, d'ordre 3, vient s'ajouter, qui correspond à une tendance à s'écarter du plan osculateur. L'invariant correspondant est la torsion de la courbe. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane.

Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d'invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d'approximation de plus en plus grands. Enfin, tous ces calculs, pour être réalisés, demandent la vérification d'un certain nombre de conditions de régularité des fonctions, et l'exclusion de points ayant un comportement exceptionnel.