Courbe
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Courbes algébriques

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Voir « courbe » sur le Wiktionnaire.

  • Mathcurve.com (en français)

Considérations topologiques

Lorsqu'on relâche l'exigence de dérivabilité des fonctions définissant les courbes, la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le...) peut singulièrement se compliquer.

Un exemple surprenant : la courbe de Peano

Les trois premières étapes de la construction de la courbe de Peano

En 1890, Peano découvrit une « courbe » aux propriétés étranges :

  • elle est définie par une application continue de [0,1] dans le plan ;
  • sa trajectoire est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des points du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) [0,1]x[0,1].

L'illustration représente les premières étapes de la construction de cette courbe, qu'on range aujourd'hui dans la catégorie des fractales.

Avec cet exemple, ou en considérant d'autres constructions de courbes fractales telles que le flocon de Koch ou la courbe du dragon, la notion de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...) semble perdre de sa pertinence. Il est possible en effet que l'image du segment [0,1] par une application continue ait une dimension de Hausdorff strictement supérieure à 1, ou même une mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.) différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des...) de 0.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Jordan

Même dans le cadre très général des courbes continues, un résultat de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement...) à l'énoncé apparemment élémentaire reste vérifié : une boucle délimite un intérieur et un extérieur.

Dit en termes moins vagues, si une courbe continue f:[a,b]\to \R^2 est fermée (les deux extrémités coïncident) et simple (la fonction est injective sur [a,b[, c'est-à-dire la courbe ne se recoupe pas elle-même) alors elle sépare le plan en deux composantes connexes, l'une bornée (l'intérieur), l'autre non bornée (l'extérieur). De plus la courbe est la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les époques. Entre les...) (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) topologique) de chacune de ces deux parties.

Ce théorème, ne connut une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) que tardivement (en 1905 par Oswald Veblen) après plusieurs tentatives incomplètes. Il convient de noter que la courbe de Peano n'est pas une courbe simple, même si les fonctions obtenues à chaque étape de sa construction le sont

Plongement, nœud

Exemple de nœud

Soit I un intervalle. L'application f:I\to \R^3 est appelée plongement lorsqu'elle réalise un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont...) de I sur son image f(I). De même on parle de courbe fermée plongée pour une application f:{\mathbb S}^1 \to \R^3 définie sur le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...) unité et qui constitue un homéomorphisme sur son image.

Il est possible de plonger le cercle de plusieurs façons, non équivalentes, dans l'espace de dimension trois. La classification des plongements possibles constitue la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des nœuds.

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