Courbe elliptique - Définition

Courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes

L'équation d'une courbe elliptique sur le corps des complexes peut aussi être mise sous la forme de Weierstrass. Il est d'usage d'adopter ici la normalisation

où g₂ et g₃ sont des nombres complexes.

Un résultat déterminant est qu'une courbe elliptique définie sur admet un paramétrage par des fonctions méromorphes, les fonctions elliptiques de Weierstrass. Plus précisément, il existe un réseau L tel que

,

où

.

Lorsque le nombre complexe z parcourt , le point de coordonnées x et y parcourt la courbe elliptique.

Les coefficients de la courbe g₂ et g₃ sont donnés par les valeurs de deux séries convergentes associées traditionnellement à un réseau L, les séries d'Eisenstein de poids 2 et 3:

.

La situation est donc analogue à celle du paramétrage des points d'un cercle par les fonctions cos et sin. Dans le cas du cercle, d'équation y² = 1 − x², les fonctions qui le paramètrent sont périodiques de période 2π. Dans le cas d'une courbe elliptique, les fonctions de Weierstrass ont pour périodes indépendantes les deux nombres générateurs du réseau L.

On a plus précisément :

Théorème — Soit E une courbe elliptique définie sur . Il existe un réseau L, défini à homothétie près, et un isomorphisme analytique complexe φ tel que φ(0) = 0_E et

Tore

Autrement dit, la courbe elliptique est isomorphe à un tore complexe (on doit se rappeler que la 'droite' complexe, de dimension 1 comme courbe définie sur , est lui-même, c'est-à-dire le 'plan' complexe, ainsi appelé communément parce qu'il est dimension 2 sur le corps des réels). Autrement dit, il s'agit d'une surface de Riemann de genre 1, qu'on peut visualiser comme un pneu à un trou.

Homologie d'une courbe elliptique complexe

La forme différentielle dx / y est holomorphe et non nulle en tout point de la courbe ; elle correspond à la forme sur le tore . Soit deux chemins α et β formant une base de l'homologie de la courbe, par exemple les chemins rose et orange ci-contre, alors

et

sont deux périodes indépendantes, qui engendrent le réseau L.

La loi de groupe est directement visible sur le tore  : trois points P₁,P₂,P₃ de la courbe sont alignés lorsque la somme de leurs arguments z₁ + z₂ + z₃ appartient au réseau L. Poser P₁ + P₂ + P₃ = 0 lorsque les points sont alignés permet de définir une loi de groupe abélien sur les points de la courbe. Cette addition est d'ailleurs compatible avec la méthode des tangentes et des sécantes expliquée plus haut pour les courbes définies sur le corps des réels. Les points d'ordre n (c'est-à-dire les points P tels que nP = P + ... + P = 0) forment un sous-groupe d'ordre n², isomorphe à .

Une application géométrique : le théorème de clôture de Poncelet

Parmi les nombreuses applications des courbes elliptiques, on peut mentionner le théorème de clôture de Poncelet par rapport à deux coniques. Soient deux coniques du plan complexe projectif non dégénérées et sans point d'intersection double, qu'on peut représenter par les deux matrices M et N des formes quadratiques associées. Si en partant d'un point A sur l'une d'elles, on trace la tangente AA' à l'autre conique, menée de ce point, elle recoupe la première conique en un autre point B et on peut réitérer en construisant l'autre tangente BB' menée par B à la deuxième conique, etc.

La figure associée au théorème de clôture dans le Traité des propriétés projectives des figures de Jean-Victor Poncelet de 1822

Le théorème de clôture de Poncelet dit que si cette construction boucle, pour un point de départ A donné, après un nombre fini d'étapes (autrement dit si la construction ramène au point de départ, formant un polygone à un nombre déterminé de côtés), elle boucle, avec le même nombre de côtés, pour n'importe quel point de départ. Cette propriété de clôture de la construction ne dépend donc pas du point de départ, mais seulement de la disposition des deux coniques.

On peut utiliser les courbes elliptiques pour donner une preuve directe de ce résultat : les points d'une conique sont paramétrables par un nombre x, la tangente est un élément de la conique duale représentable par un nombre y ; en choisissant bien le système de coordonnées, on montre que la relation entre x et y est y² = det(Mx + N), ce qui, en développant le déterminant, est l'équation d'une courbe elliptique. On montre de plus qu'on passe de (A,AA') à (B,BB') par l'addition (au sens de l'addition sur la courbe elliptique) d'un point P₀ qui ne dépend pas de A, mais seulement de l'équation de la courbe elliptique, c'est-à-dire des coniques elles-mêmes. La construction boucle si et seulement si ce point P₀ est un point de torsion sur la courbe elliptique. Cette interprétation permet d'ailleurs de déterminer des paires de coniques supportant des polygones de Poncelet à un nombre voulu de côtés.