Coordonnées sphériques - Définition

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- Introduction - Utilisation - Définition et propriétés élémentaires - Généralisation - Propriétés

Généralisation

Soit un espace vectoriel normé de dimension n finie. Pour un point x de cet espace, de coordonnées (x, …, x), on définit les coordonnées sphériques (r, ϕ, …, ϕ) par

\begin{align} r &= ||x||\\ x_1 &= r\cos\phi_1\\ x_2 &= r\sin\phi_1 \cos \phi_2\\ \cdots\\ x_{n-1} &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\\ x_n &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1} \end{align}

Les coordonnées sphériques constituent le cas particulier n = 3 et les polaires n = 2 ; on pourra consulter la section correspondante de l'article 3-sphère pour le cas n=4.

Propriétés

Propriétés différentielles

Différentielles

Le volume infinitésimal s'écrit

et la surface à ρ constant est $\text{d}^2 S = \rho^2\sin\phi\,\text{d}\phi\text{d}\theta$ .

Les vecteurs de la base comobile $(\overrightarrow{u_\rho}, \overrightarrow{u_\phi}, \overrightarrow{u_\theta})$ ont pour différentielles :

\begin{align} \text{d}\overrightarrow{u_\rho} &= + \text{d}\phi\,\vec{u}_\phi + \sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\ \text{d}\overrightarrow{u_\phi} &= -\text{d}\phi\,\vec{u}_\rho + \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\ \text{d}\overrightarrow{u_\theta} &= -\sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\rho - \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\phi. \end{align}

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération s'en déduisent :

\begin{align} \overrightarrow{OM} &= \rho\,\overrightarrow{u_\rho},\\ \dot{\overrightarrow{OM}} &= \dot\rho\,\overrightarrow{u_\rho} + \rho\dot\phi\,\overrightarrow{u_\phi} + \rho\sin\phi\,\dot\theta\,\overrightarrow{u_\theta},\\ \ddot{\overrightarrow{OM}} &= (\ddot\rho-\rho\dot\phi^2-\rho\dot\theta^2\sin^2\phi)\,\overrightarrow{u_\rho} + (\rho\ddot\phi + 2\dot\rho\dot\phi - \rho\dot\theta^2\sin \phi\,\cos\phi) \,\overrightarrow{u_\phi} + (\rho\ddot\theta\sin\phi + 2\dot\rho\dot\theta\sin\phi + 2\rho\dot\phi\dot\theta\cos \phi) \,\overrightarrow{u_\theta}. \end{align}

Opérateurs différentiels

L'opérateur nabla, servant au calcul du gradient, de la divergence et du rotationnel s'écrit

Le laplacien s'en déduit :

Tenseurs usuels

Le tenseur métrique s'écrit

g_{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & \rho^2 \sin^2\phi \end{matrix}\right)

et l'intervalle

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont

\begin{align} \Gamma^{\rho}_{\phi\phi} &= -\rho\\ \Gamma^{\rho}_{\theta\theta} &= -\rho \sin^2\phi\\ \Gamma^{\phi}_{\rho\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi\rho} &= \rho^{-1}\\ \Gamma^{\phi}_{\theta\theta} &= -\cos\phi\,\sin\phi\\ \Gamma^{\theta}_{\rho\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta\rho} &= \rho^{-1}\\ \Gamma^{\theta}_{\theta\phi} = \Gamma^{\theta}_{\phi\theta} &= \cot\phi \end{align}

Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels

Les coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, θ′, z) et sphériques, lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, x, y, z) suivent les lois de transformations données ci-dessous.

Système de coordonnées	Depuis les coordonnées sphériques	Vers les coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes	$\begin{align} x &= \rho \sin\phi \cos\theta,\\ y &= \rho \sin\phi \sin\theta,\\ z &= \rho \cos\phi. \end{align}$	$\begin{align} \rho &= \sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \phi &= \arccos(z/\rho)\\ \theta &= \begin{cases}\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y\geq0, \\[,5em] 2\pi-\arccos\frac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y < 0;\end{cases} \end{align}$
Coordonnées cylindriques	$\begin{align} r &= \rho \sin\phi,\\ \theta^\prime &= \theta,\\ z &= \rho \cos\phi. \end{align}$	$\begin{align} \rho &= \sqrt{r^2+z^2},\\ \phi &= \arctan(r/z),\\ \theta &= \theta^\prime, \end{align}$

Dans le tableau ci-dessus arctan(y, x) est le prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(y/x) pour x et y positifs.

Coordonnées sphériques

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Définition et propriétés élémentaires

- Introduction - Utilisation - Définition et propriétés élémentaires - Généralisation - Propriétés

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